8 设a(x)=(1-x)/(1+x),beta(x)=3-3sqrt[3](x),则当x→1时，有（）A. α(x)与β(x)是同阶但非等价无穷小B. α(x)与β(x)是等价无穷小C. α(x)是比β(x)高阶的无穷小D. β(x)是比α(x)高阶的无穷小

本题考查无穷小阶的比较，解题思路是先分别求出$\alpha(x)$与$\beta(x)$在$x\to1$时的极限，判断它们是否为无穷小，再求$\lim\limits_{x\to1}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$的值，根据该极限值判断$\alpha(x)$与$\beta(x)$的阶的关系。

步骤一：判断$\alpha(x)$与$\beta(x)$是否为无穷小

• 计算$\lim\limits_{x\to1}\alpha(x)$：
  将$\alpha(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$代入极限$\lim\limits_{x\to1}\alpha(x)$，可得$\lim\limits_{x\to1}\frac{1 - x}{1 + x}=\frac{1 - 1}{1 + 1}=0$，所以当$x\to1$时，$\alpha(x)$是无穷小。
• 计算$\lim\limits_{x\to1}\beta(x)$：
  将$\beta(x)=3 - 3\sqrt[3]{x}$代入极限$\lim\limits_{x\to1}\beta(x)$，可得$\lim\limits_{x\to1}(3 - 3\sqrt[3]{x})=3 - 3\sqrt[3]{1}=3 - 3 = 0$，所以当$x\to1$时，$\beta(x)$是无穷小。

步骤二：求$\lim\limits_{x\to1}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$的值

将$\alpha(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$，$\beta(x)=3 - 3\sqrt[3]{x}$代入$\lim\limits_{x\to1}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$，可得：
$\lim\limits_{x\to1}\frac{\frac{1 - x}{1 + x}}{3 - 3\sqrt[3]{x}}=\lim\limits_{x\to1}\frac{1 - x}{(1 + x)(3 - 3\sqrt[3]{x})}$
令$t = \sqrt[3]{x}$，则$x = t^3$，当$x\to1$时，$t\to1$，上式可化为：
$\lim\limits_{t\to1}\frac{1 - t^3}{(1 + t^3)(3 - 3t)}$
根据立方差公式$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$，对$1 - t^3$进行因式分解，可得$1 - t^3 = (1 - t)(1 + t + t^2)$，则上式可进一步化为：
$\lim\limits_{t\to1}\frac{(1 - t)(1 + t + t^2)}{(1 + t^3)(3 - 3t)}=\lim\limits_{t\to1}\frac{(1 - t)(1 + t + t^2)}{(1 + t^3)\times3\times(1 - t)}$
约去$(1 - t)$，可得：
$\lim\limits_{t\to1}\frac{1 + t + t^2}{3(1 + t^3)}=\frac{1 + 1 + 1^2}{3\times(1 + 1^3)}=\frac{3}{3\times2}=\frac{1}{2}$

步骤三：根据极限值判断$\alpha(x)$与$\beta(x)$的阶的关系

因为$\lim\limits_{x\to1}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\frac{1}{2}\neq1$且$\lim\limits_{x\to1}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\frac{1}{2}\neq0$，所以当$x\to1$时，$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶但非等价无穷小。