用区间二分法求方程 x^3 - x - 1 = 0 在区间 [1, 2] 的近似根，误差小于 10^-3 至少要二分（ ）次？A. 5B. 100C. 9D. 10

我们来一步一步地解决这个问题：

题目要求：

用区间二分法（也称二分法）求方程
$x^3 - x - 1 = 0$
在区间 $[1, 2]$ 内的近似根，要求误差小于 $10^{-3}$，问至少要二分多少次？

选项是：

• A. 5
• B. 100
• C. 9
• D. 10

第一步：理解二分法的误差公式

在区间二分法中，初始区间为 $[a, b]$，每次二分后区间长度缩小一半。经过 $n$ 次二分后，根所在的区间长度为：
$\frac{b - a}{2^n}$

此时，我们取区间的中点作为近似根，其最大误差（即与真实根的距离）不会超过区间长度的一半，但通常我们保守估计：误差不超过当前区间长度。

更精确地说，近似根与真实根的误差不超过：
$\frac{b - a}{2^{n+1}}$
但更常用的误差上界估计是：
$\text{误差} \leq \frac{b - a}{2^{n+1}} \quad \text{或} \quad \leq \frac{b - a}{2^n}$
不过在实际应用中，我们通常使用：
> 经过 $n$ 次二分后，误差不超过 $\frac{b - a}{2^{n+1}}$，但为了保险，常使用 $\frac{b - a}{2^n}$ 作为区间长度，要求这个长度小于允许误差。

但标准的误差控制公式是：
$\frac{b - a}{2^{n+1}} < \text{允许误差}$
不过更常见的是：近似根的误差不超过区间长度的一半，而区间长度为 $\frac{b-a}{2^n}$，所以误差 $\leq \frac{b-a}{2^{n+1}}$。

但为了确保近似值与真实根的误差小于 $10^{-3}$，我们通常要求：
$\frac{b - a}{2^{n+1}} < 10^{-3}$
或者更严格地，使用：
$\frac{b - a}{2^n} < 2 \times 10^{-3}$

但更标准的做法是：经过 $n$ 次二分后，区间长度为 $\frac{b-a}{2^n}$，此时中点与真实根的误差不超过区间长度的一半，即 $\frac{b-a}{2^{n+1}}$。

但我们也可以这样理解：只要区间长度小于 $2 \times 10^{-3}$，那么中点与根的距离就小于 $10^{-3}$。

但更常见、更直接的公式是：

> 要使误差小于 $\varepsilon$，需要满足：
$\frac{b - a}{2^{n+1}} < \varepsilon$

或者更粗略但常用的是：
$\frac{b - a}{2^n} < 2\varepsilon$

不过，最常用的二分法迭代次数估计公式是：

$n \geq \frac{\log(b - a) - \log(2\varepsilon)}{\log 2} \quad \text{或} \quad n \geq \log_2\left(\frac{b - a}{\varepsilon}\right)$

但让我们来澄清一下。

第二步：使用标准误差公式

在区间二分法中，初始区间长度为：
$b - a = 2 - 1 = 1$

每次二分后，区间长度变为原来的一半。

经过 $n$ 次二分后，区间长度为：
$\frac{1}{2^n}$

此时，我们取中点作为近似根，真实根在当前区间内，所以误差（即近似根与真实根的距离）不超过区间长度的一半，即：
$\text{误差} \leq \frac{1}{2^{n+1}}$

但我们通常更保守地说：误差不超过当前区间长度，即 $\frac{1}{2^n}$，因为中点到端点的距离是 $\frac{1}{2^{n+1}}$，但真实根可能在区间内任意位置。

但为了确保误差小于 $10^{-3}$，我们要求：
$\frac{1}{2^n} < 2 \times 10^{-3} \quad \text{或更直接地} \quad \frac{1}{2^{n+1}} < 10^{-3}$

我们采用更标准的公式：

> 二分法中，经过 $n$ 次迭代后，误差上界为：
$\frac{b - a}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n+1}}$
要求：
$\frac{1}{2^{n+1}} < 10^{-3}$

解这个不等式：

$\frac{1}{2^{n+1}} < \frac{1}{1000} \Rightarrow 2^{n+1} > 1000$

我们来计算 $2^k > 1000$ 的最小整数 $k$：

• $2^9 = 512$
• $2^{10} = 1024$

所以 $k = 10$ 时，$2^{10} = 1024 > 1000$

而 $k = n+1$，所以：
$n + 1 = 10 \Rightarrow n = 9$

第三步：验证

当 $n = 9$ 时：
$\frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024} \approx 0.000976 < 0.001 = 10^{-3}$

满足误差要求。

当 $n = 8$ 时：
$\frac{1}{2^{9}} = \frac{1}{512} \approx 0.001953 > 0.001$

不满足。

所以至少需要 $n = 9$ 次二分。

第四步：检查函数在区间内是否有根

虽然题目已经说明在 $[1,2]$ 内求根，但我们验证一下是否满足二分法前提。

设 $f(x) = x^3 - x - 1$

• $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0$
• $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$

且 $f(x)$ 连续，由介值定理，$(1,2)$ 内有根。

并且 $f'(x) = 3x^2 - 1$，在 $[1,2]$ 上 $f'(x) > 0$，函数单调增，故只有一个根，适合用二分法。

结论：

至少需要 9 次二分，才能使误差小于 $10^{-3}$。

答案：

$\boxed{C. \ 9}$