题目

练习 已知A是三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，如果A，A-2E， 2E均不可逆，则|A+E|=_____.

练习 已知A是三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，如果A，A-2E， 2E均不可逆，则|A+E|=_____.

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用矩阵的行列式和特征值的性质。让我们一步步来分析。 1. **理解给定条件：** - $A$ 是一个三阶矩阵。 - $E$ 是一个三阶单位矩阵。 - $A$ 不可逆，这意味着 $|A| = 0$。 - $A - 2E$ 不可逆，这意味着 $|A - 2E| = 0$。 - $A + 2E$ 不可逆，这意味着 $|A + 2E| = 0$。 2. **将条件与特征值联系起来：** - 如果 $A$ 不可逆，那么 $A$ 有一个特征值为 $0$。 - 如果 $A - 2E$ 不可逆，那么 $A$ 有一个特征值为 $2$（因为 $A - 2E$ 的特征值是 $A$ 的特征值减去 $2$）。 - 如果 $A + 2E$ 不可逆，那么 $A$ 有一个特征值为 $-2$（因为 $A + 2E$ 的特征值是 $A$ 的特征值加上 $2$）。 3. **确定 $A$ 的特征值：** - 从上述条件，$A$ 的特征值是 $0$，$2$，和 $-2$。 4. **找到 $A + E$ 的行列式：** - $A + E$ 的特征值是 $A$ 的特征值加上 $1$。因此，$A + E$ 的特征值是 $0 + 1 = 1$，$2 + 1 = 3$，和 $-2 + 1 = -1$。 - 矩阵的行列式是其特征值的乘积。因此，$A + E$ 的行列式是 $1 \cdot 3 \cdot (-1) = -3$。 5. **结论：** - $A + E$ 的行列式是 $\boxed{-3}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的不可逆性与特征值的关系，以及行列式的性质。
解题思路：

  1. 不可逆条件转化为特征值：矩阵不可逆说明其行列式为0，进而推断出对应的特征值。

  2. 特征值的平移性质：若矩阵$A$有特征值$\lambda$，则$A + kE$的特征值为$\lambda + k$。

  3. 行列式的计算：利用特征值的乘积性质求解$|A + E|$。

  4. 分析不可逆条件

    • $A$不可逆 $\Rightarrow |A| = 0$，说明$A$有一个特征值为$0$。
    • $A - 2E$不可逆 $\Rightarrow |A - 2E| = 0$，说明$A$有一个特征值为$2$。
    • $A + 2E$不可逆 $\Rightarrow |A + 2E| = 0$，说明$A$有一个特征值为$-2$。

  5. 确定$A$的特征值
    由于$A$是三阶矩阵，且上述条件给出了三个不同的特征值，因此$A$的特征值为$0$、$2$、$-2$。

  6. 计算$A + E$的特征值
    根据特征值的平移性质，$A + E$的特征值为：
    $0 + 1 = 1, \quad 2 + 1 = 3, \quad -2 + 1 = -1.$

  7. 求行列式
    矩阵的行列式等于其特征值的乘积，因此：
    $|A + E| = 1 \cdot 3 \cdot (-1) = -3.$