题目

某种型号的电子管的使用寿命X（单位：小时）的密度函数为f(x)=}(1000)/(x^2),x>10000,other<|im_end|>各电子管损坏与否相互独立，现从一大批这种电子管中任取5只，求其中至少有2只的寿命大于1500小时的概率。

某种型号的电子管的使用寿命X（单位：小时）的密度函数为 $f(x)=\begin{cases}\frac{1000}{x^{2}},x>1000\\0,other\end{cases}$ <|im_end|> 各电子管损坏与否相互独立，现从一大批这种电子管中任取5只，求其中至少有2只的寿命大于1500小时的概率。

题目解答

答案

  1. 计算单个电子管寿命大于1500小时的概率
    由密度函数 $f(x) = \frac{1000}{x^2}$（$x > 1000$），得
    $P(X > 1500) = \int_{1500}^{+\infty} \frac{1000}{x^2} \, dx = \frac{2}{3}.$

  2. 定义二项分布
    设 $Y$ 表示5只电子管中寿命大于1500小时的个数，$Y \sim B(5, \frac{2}{3})$。

  3. 计算至少2只寿命大于1500小时的概率
    $P(Y \geq 2) = 1 - P(Y < 2) = 1 - [P(Y = 0) + P(Y = 1)],$
    其中
    $P(Y = 0) = \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243},$
    $P(Y = 1) = C_5^1 \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{10}{243}.$
    故
    $P(Y \geq 2) = 1 - \left(\frac{1}{243} + \frac{10}{243}\right) = \frac{232}{243}.$

答案： $\boxed{\frac{232}{243}}$