题目
6、填空方程组}x_(1)+2x_(2)+2x_(3)+x_(4)=02x_(1)+x_(2)-2x_(3)-2x_(4)=0x_(1)+x_(2)-4x_(3)-3x_(4)=0的基础解系含有____个解向量.(10分)
6、填空
方程组$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0\\2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=0\\x_{1}+x_{2}-4x_{3}-3x_{4}=0\end{cases}$的基础解系含有____个解向量.
(10分)
题目解答
答案
将方程组的系数矩阵 $A$ 化为行最简形：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & -2 & -2 \\
1 & 1 & -4 & -3
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\]
矩阵 $A$ 的秩 $r(A) = 3$，方程组有4个未知数。根据基础解系的解向量个数公式 $n - r(A)$，得：
\[
n - r(A) = 4 - 3 = 1
\]
**答案：** $\boxed{1}$