题目

曲线上任意点的切线垂直于由原点到切点的连线，且曲线过点M_(0)(1,2)求曲线的方程.

曲线上任意点的切线垂直于由原点到切点的连线，且曲线过点$M_{0}(1,2)$ 求曲线的方程.

题目解答

答案

设曲线方程为 $y = y(x)$，则切线斜率 $y'$ 与原点到点 $(x, y)$ 的连线斜率 $\frac{y}{x}$ 满足垂直关系，即 \[ y' \cdot \frac{y}{x} = -1 \implies y' = -\frac{x}{y}. \] 分离变量得 \[ y \, dy = -x \, dx. \] 两边积分得 \[ \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C_1 \implies x^2 + y^2 = C. \] 由曲线过点 $M_0(1, 2)$，代入得 \[ 1^2 + 2^2 = C \implies C = 5. \] 因此，曲线方程为 \[ \boxed{x^2 + y^2 = 5}. \]

解析

本题考查的知识点是利用导数的几何意义建立微分方程，并求解该微分方程得到曲线方程。解题思路如下：

  1. 首先，根据导数的几何意义，曲线$y = y(x)$在点$(x,y)$处的切线斜率为$y'$。而原点$(0,0)$到点$(x,y)$的连线斜率为$\frac{y - 0}{x - 0}=\frac{y}{x}$。
  2. 因为曲线上任意点的切线垂直于由原点到切点的连线，根据两垂直直线斜率之积为$-1$，可得到$y'$与$\frac{y}{x}$的关系式$y'\cdot\frac{y}{x}=-1$，进而得出$y' = -\frac{x}{y}$。
  3. 对$y' = -\frac{x}{y}$进行分离变量，将含有$x$和$y$的项分别放在等式两边，得到$y\,dy=-x\,dx$。
  4. 对分离变量后的等式两边分别积分：
    • 对$\int y\,dy$，根据积分公式$\int x^n\,dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C_2$。
    • 对$\int -x\,dx$，同理可得$\int -x\,dx=-\frac{x^{2}}{2}+C_3$。
    • 所以$\frac{y^{2}}{2}=-\frac{x^{2}}{2}+C_1$（$C_1 = C_3 - C_2$），等式两边同时乘以$2$，得到$x^{2}+y^{2}=C$（$C = 2C_1$），这是曲线方程的通解。
  5. 已知曲线过点$M_0(1,2)$，将$x = 1$，$y = 2$代入通解$x^{2}+y^{2}=C$中，可得$1^{2}+2^{2}=C$，即$C = 5$。
  6. 将$C = 5$代入通解$x^{2}+y^{2}=C$，得到曲线的特解，也就是曲线方程为$x^{2}+y^{2}=5$。