12.11 一均匀带电直线长为L,线电荷密度为λ。求直线的延长线上距L中点为 (rgt L/2) 处的-|||-场强。

考查要点：本题主要考查连续带电体电场的计算，需要将带电体分割为无限小段，利用点电荷场强公式积分求和。

解题核心思路：

1. 建立坐标系：将带电直线沿x轴放置，中点为原点，场点位于直线延长线上，坐标为$(r,0,0)$。
2. 分割带电体：将直线分割为无数小段，每段电荷为$\lambda dx$，计算其在场点的场强。
3. 积分求和：对所有小段的场强沿x轴积分，注意积分变量的替换和上下限。
4. 方向判断：根据电荷性质确定场强方向，本题结果为沿带电直线方向指向远方。

破题关键点：

• 正确表达小段电荷到场点的距离：距离为$r - x$（因$r > L/2$，距离恒为正）。
• 积分化简技巧：通过变量代换简化积分表达式，最终结果与分母的平方差形式相关。

坐标系与场强表达式

1. 坐标系设定：带电直线沿x轴，中点为原点，场点P坐标为$(r,0,0)$，直线范围为$x \in [-L/2, L/2]$。
2. 小段电荷场强：取线元$dx$处的电荷$\lambda dx$，其在P点的场强大小为：
   $dE = \frac{\lambda dx}{4\pi \varepsilon_0 (r - x)^2}$
   方向沿x轴正方向（假设$\lambda > 0$）。

积分求总场强

1. 积分范围：$x$从$-L/2$到$L/2$，总场强为：
   $E = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{\lambda dx}{4\pi \varepsilon_0 (r - x)^2}$
2. 变量代换：令$u = r - x$，则$du = -dx$，积分上下限变为$u = r + L/2$到$u = r - L/2$，积分变为：
   $E = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \int_{r - L/2}^{r + L/2} \frac{du}{u^2}$
3. 计算积分：
   $\int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} + C$
   代入上下限得：
   $E = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{r + L/2} + \frac{1}{r - L/2} \right]$
4. 化简结果：
   $E = \frac{\lambda L}{4\pi \varepsilon_0 \left( r^2 - \frac{L^2}{4} \right)}$

方向分析

所有小段电荷在P点的场强方向均沿x轴正方向（$\lambda > 0$），故总场强方向沿带电直线方向指向远方。