数值求积公式(int )_(-1)^1f(x)dxapprox dfrac (2)(3)[ f(-dfrac (1)(sqrt {2)})+f(0)+f(dfrac (1)(sqrt {2)})] 的代数精度为（）

代数精度是数值求积公式的重要指标，指公式能准确计算所有次数不超过$m$的多项式，但至少有一个$m+1$次多项式无法准确计算。本题的关键在于验证不同次数的多项式在求积公式中的计算结果是否与精确积分一致，从而确定最大的$m$值。

破题关键：

1. 代数精度的定义：从低次多项式开始验证，直到找到第一个不成立的次数。
2. 对称性简化计算：利用积分区间$[-1,1]$的对称性，快速判断奇偶函数的积分结果。

验证不同次数的多项式

0次多项式（常数函数）

• 精确积分：$\int_{-1}^1 1 \, dx = 2$。
• 求积公式：$\frac{2}{3}[1 + 1 + 1] = 2$，结果一致。

1次多项式（$f(x)=x$）

• 精确积分：$\int_{-1}^1 x \, dx = 0$（奇函数）。
• 求积公式：$\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} + 0 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 0$，结果一致。

2次多项式（$f(x)=x^2$）

• 精确积分：$\int_{-1}^1 x^2 \, dx = \frac{2}{3}$。
• 求积公式：$\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3}$，结果一致。

3次多项式（$f(x)=x^3$）

• 精确积分：$\int_{-1}^1 x^3 \, dx = 0$（奇函数）。
• 求积公式：$\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}} + 0 + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) = 0$，结果一致。

4次多项式（$f(x)=x^4$）

• 精确积分：$\int_{-1}^1 x^4 \, dx = \frac{2}{5}$。
• 求积公式：$\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{3}$，结果不一致。

结论：求积公式能准确计算0~3次多项式，但无法准确计算4次多项式，因此代数精度为3。