矩阵A=(}1&2&32&1&33&3&6)(k≠0)

考查要点：本题主要考查矩阵特征值对应的特征向量的求解方法，涉及齐次线性方程组的解法及基础解系的确定。

解题核心思路：

1. 构造矩阵 $A - \lambda I$，其中 $\lambda = 9$；
2. 解齐次方程组 $(A - 9I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$，得到特征向量的一般形式；
3. 化简方程组，通过消元法确定基础解系，最终得到特征向量的表达式。

破题关键点：

• 正确计算 $A - 9I$ 的元素；
• 灵活化简方程组，通过消元法找到变量之间的关系；
• 理解特征向量的表示形式，注意非零标量倍数的等价性。

步骤1：构造矩阵 $A - 9I$
$A - 9I = \begin{pmatrix} 1-9 & 2 & 3 \\ 2 & 1-9 & 3 \\ 3 & 3 & 6-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 2 & 3 \\ 2 & -8 & 3 \\ 3 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

步骤2：建立齐次方程组
$\begin{cases} -8x + 2y + 3z = 0 \\ 2x - 8y + 3z = 0 \\ 3x + 3y - 3z = 0 \end{cases}$

步骤3：化简方程组

1. 第三个方程：
   $3x + 3y - 3z = 0 \implies x + y = z$
2. 代入前两个方程：
   • 第一个方程：
     $-8x + 2y + 3(x + y) = 0 \implies -5x + 5y = 0 \implies x = y$
   • 第二个方程：
     $2x - 8y + 3(x + y) = 0 \implies 5x - 5y = 0 \implies x = y$
3. 联立结果：
   $x = y, \quad z = x + y = 2x$

步骤4：确定特征向量形式
解向量为：
$\mathbf{v} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \quad (k \neq 0)$
（通过提取公因子 $\frac{1}{2}$ 简化表达式）