题目
设区间 (0,+infty ) 上的函数u(x)定义为 (x)=(int )_(0)^+infty (e)^-x(t^2)dt ,则u(x)的初等函数表达式-|||-为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别积分类型
给定的积分 $u(x)={\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-x{t}^{2}}dt$ 是一个高斯积分的变体，其中积分变量为 $t$，而 $x$ 是一个参数。高斯积分通常的形式是 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-a{t}^{2}}dt$，其结果是 $\sqrt{\frac{\pi}{a}}$，其中 $a>0$。
步骤 2：调整积分范围
由于给定的积分范围是从 $0$ 到 $+\infty$，而不是从 $-\infty$ 到 $+\infty$，我们需要利用积分的对称性。注意到 ${e}^{-x{t}^{2}}$ 是关于 $t$ 的偶函数，因此 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-x{t}^{2}}dt$ 等于 ${\int }_{-\infty }^{0}{e}^{-x{t}^{2}}dt$。因此，原积分等于高斯积分的一半。
步骤 3：计算积分
根据高斯积分的性质，${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x{t}^{2}}dt = \sqrt{\frac{\pi}{x}}$。因此，${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-x{t}^{2}}dt = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{x}}$。
给定的积分 $u(x)={\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-x{t}^{2}}dt$ 是一个高斯积分的变体，其中积分变量为 $t$，而 $x$ 是一个参数。高斯积分通常的形式是 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-a{t}^{2}}dt$，其结果是 $\sqrt{\frac{\pi}{a}}$，其中 $a>0$。
步骤 2：调整积分范围
由于给定的积分范围是从 $0$ 到 $+\infty$，而不是从 $-\infty$ 到 $+\infty$，我们需要利用积分的对称性。注意到 ${e}^{-x{t}^{2}}$ 是关于 $t$ 的偶函数，因此 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-x{t}^{2}}dt$ 等于 ${\int }_{-\infty }^{0}{e}^{-x{t}^{2}}dt$。因此，原积分等于高斯积分的一半。
步骤 3：计算积分
根据高斯积分的性质，${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x{t}^{2}}dt = \sqrt{\frac{\pi}{x}}$。因此，${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{-x{t}^{2}}dt = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{x}}$。