题目

判断题（共10题，10.0分）题型说明：共10题，每题1分。43. (1.0分) int_(a)^bkf(x)dx=kint_(a)^bf(x)dxA 对B 错

判断题（共10题，10.0分） 题型说明：共10题，每题1分。 43. (1.0分) $\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$ A 对 B 错

题目解答

答案

根据定积分的性质，常数因子可以被从积分号中提取。即对于任意常数 $k$ 和在区间 $[a, b]$ 上可积的函数 $f(x)$，有： \[ \int_{a}^{b} kf(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] 此性质对所有实数 $k$ 均成立，故题目等式正确。 答案：$\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分的基本性质，特别是常数因子与被积函数相乘时的处理方式。

解题核心思路：根据定积分的线性性质，常数因子可以提到积分号外，即$\int_{a}^{b} kf(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx$。这一性质对任意常数$k$均成立，前提是函数$f(x)$在区间$[a, b]$上可积。

破题关键点：明确定积分的这一性质，并注意区分常数与函数的区别（若$k$是函数，则不能直接提取）。

根据定积分的性质，常数因子可以被提取到积分号外。具体步骤如下：

  1. 性质应用：
    对于任意常数$k$和在区间$[a, b]$上可积的函数$f(x)$，有：
    $\int_{a}^{b} kf(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

  2. 验证举例（辅助理解）：
    以$f(x) = x$，$k = 2$，区间$[1, 2]$为例：

    • 左边计算：$\int_{1}^{2} 2x \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = 3$
    • 右边计算：$2 \int_{1}^{2} x \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = 3$
      两边结果相等，验证性质成立。