不定积分int dfrac (1)(1+sqrt {x)}dx= __ 。（） int dfrac (1)(1+sqrt {x)}dx= __ 。A. AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过换元法处理分母含根号的有理分式积分。

解题核心思路：

1. 选择合适的换元变量，将分母中的根号表达式简化。
2. 代数变形，将积分转化为容易处理的形式。
3. 分项积分，利用基本积分公式求解。
4. 回代变量，将结果转换为原变量表达式。

破题关键点：

• 令 $u = 1 + \sqrt{x}$，简化分母结构。
• 正确表达 $dx$ 与 $du$ 的关系，并代入积分式。
• 分项积分时注意符号和系数的处理。

换元法步骤

步骤1：设换元变量

令 $u = 1 + \sqrt{x}$，则 $\sqrt{x} = u - 1$。

步骤2：求微分关系

对 $u$ 求导：
$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies dx = 2\sqrt{x} \, du = 2(u - 1) \, du.$

步骤3：代入积分式

原积分变为：
$\int \frac{1}{u} \cdot 2(u - 1) \, du = 2 \int \frac{u - 1}{u} \, du.$

步骤4：分项积分

将分式拆分为：
$2 \int \left(1 - \frac{1}{u}\right) du = 2 \left( \int 1 \, du - \int \frac{1}{u} \, du \right).$

步骤5：计算积分

分别积分得：
$2 \left( u - \ln|u| \right) + C.$

步骤6：回代变量

将 $u = 1 + \sqrt{x}$ 代回：
$2(1 + \sqrt{x}) - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C.$

步骤7：简化结果

展开后合并常数项：
$2\sqrt{x} + 2 - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C = 2\sqrt{x} - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C.$