题目
二、判断题(共20题，40.0分)31.(判断题，2.0分)已知三向量坐标为(1,2,3)，(2,-1,0)，(0,5,6)，则此三向量共面.A 对B 错
二、判断题(共20题，40.0分)
31.(判断题，2.0分)
已知三向量坐标为(1,2,3)，(2,-1,0)，(0,5,6)，则此三向量共面.
A 对
B 错
题目解答
答案
计算向量 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$、$\mathbf{b} = (2, -1, 0)$、$\mathbf{c} = (0, 5, 6)$ 的标量三重积：
\[
\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & -1 & 0 \\
0 & 5 & 6
\end{vmatrix}
= 1 \cdot (-6) - 2 \cdot 12 + 3 \cdot 10
= -6 - 24 + 30
= 0
\]
标量三重积为零，说明向量共面。
**答案：A 对**
解析
判断三个向量是否共面的核心方法是计算它们的标量三重积（即混合积）。若标量三重积为零，则向量共面；否则不共面。标量三重积的计算公式为：
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
或等价地，计算由三个向量组成的三阶行列式的值。
计算标量三重积
-
计算向量 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 的叉乘：
$\mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 5 & 6 \end{vmatrix} = (-6, -12, 10)$ -
计算向量 $\mathbf{a}$ 与叉乘结果的点积：
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (1, 2, 3) \cdot (-6, -12, 10) = 1 \cdot (-6) + 2 \cdot (-12) + 3 \cdot 10 = -6 -24 +30 = 0$
结论：标量三重积为 $0$，说明三个向量共面。