题目

设随机变量Xsim N(0，1)，则方程(t)^2+2Xt+4=0没有实根的概率为(& )A、2phi (2)-1B、varphi (4)-phi (2)C、phi (-4)-phi (-2)D、phi (2)-phi (4)

设随机变量$X\sim N(0，1)，$则方程${t}^{2}+2Xt+4=0$没有实根的概率为$\left(\begin{array}{ll}& \end{array}\right)$

$A、2\phi \left(2\right)-1$

$B、\varphi \left(4\right)-\phi \left(2\right)$

$C、\phi (-4)-\phi (-2)$

$D、\phi \left(2\right)-\phi \left(4\right)$

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二次方程无实根的条件与标准正态分布的概率计算。
解题核心思路：

  1. 根据二次方程无实根的条件，确定判别式小于0的不等式；
  2. 将不等式转化为标准正态分布的概率表达式；
  3. 利用标准正态分布的对称性简化计算。

破题关键点：

  • 判别式条件：方程无实根等价于判别式 $\Delta < 0$；
  • 标准正态分布的性质：$\phi(-x) = 1 - \phi(x)$，用于简化概率表达式。

步骤1：确定方程无实根的条件
方程 $t^2 + 2Xt + 4 = 0$ 的判别式为：
$\Delta = (2X)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4X^2 - 16$
方程无实根的条件是 $\Delta < 0$，即：
$4X^2 - 16 < 0 \quad \Rightarrow \quad X^2 < 4 \quad \Rightarrow \quad -2 < X < 2$

步骤2：计算概率
所求概率为 $P(-2 < X < 2)$，利用标准正态分布函数 $\phi(x)$：
$P(-2 < X < 2) = \phi(2) - \phi(-2)$
根据标准正态分布的对称性 $\phi(-2) = 1 - \phi(2)$，代入得：
$\phi(2) - (1 - \phi(2)) = 2\phi(2) - 1$

步骤3：匹配选项
选项A为 $2\phi(2) - 1$，与计算结果一致，故正确答案为A。