设晶格常数为 a 的一维晶格，导带极小值附近能量E_c(k)和价带极大值附近能量E_v(k)分别为[ E_c(k) = (hbar^2 k^2)/(3 m_0) + (hbar^2 (k - k_1)^2)/(m_0) ][ E_v(k) = (hbar^2 k_1^2)/(6 m_0) - (3 hbar^2 k^2)/(m_0) ]式中, m_0 为电子惯性质量, k_1 = pi/a, a = 0.314 , (nm)。试求:① 禁带宽度；② 导带底电子有效质量；③ 价带顶电子有效质量；④ 价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。

本题主要考查了固体物理中禁带宽度、电子有效质量以及准动量变化的计算，解题的关键在于利用能量与波矢的关系，通过求导找到极值点，再结合有效质量公式和准动量守恒进行计算。

① 求禁带宽度

禁带宽度是导带底能量与价带顶能量之差。

• 步骤一：求导带底能量
  对导带极小值附近能量$E_c(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{3 m_0} + \frac{\hbar^2 (k - k_1)^2}{m_0}$求导，令其导数为$0$，找到导带底对应的波矢$k_c$。
  $\frac{dE_c(k)}{dk}=\frac{2\hbar^2 k}{3 m_0}+\frac{2\hbar^2 (k - k_1)}{m_0}=0$
  通分得到$\frac{2\hbar^2 k}{3 m_0}+\frac{6\hbar^2 (k - k_1)}{3 m_0}=0$，即$2\hbar^2 k + 6\hbar^2 (k - k_1)=0$。
  展开可得$2\hbar^2 k + 6\hbar^2 k - 6\hbar^2 k_1 = 0$，合并同类项得$8\hbar^2 k = 6\hbar^2 k_1$，解得$k_c = \frac{3}{4}k_1$。
  将$k_c = \frac{3}{4}k_1$代入$E_c(k)$可得导带底能量$E_{cmin}$：
  $\begin{align*}E_{cmin}&=\frac{\hbar^2 (\frac{3}{4}k_1)^2}{3 m_0} + \frac{\hbar^2 (\frac{3}{4}k_1 - k_1)^2}{m_0}\\&=\frac{\hbar^2 \frac{9}{16}k_1^2}{3 m_0} + \frac{\hbar^2 (-\frac{1}{4}k_1)^2}{m_0}\\&=\frac{3\hbar^2 k_1^2}{16 m_0} + \frac{\hbar^2 k_1^2}{16 m_0}\\&=\frac{4\hbar^2 k_1^2}{16 m_0}\\&=\frac{\hbar^2 k_1^2}{4 m_0}\end{align*}$
• 步骤二：求价带顶能量
  对价带极大值附近能量$E_v(k) = \frac{\hbar^2 k_1^2}{6 m_0} - \frac{3 \hbar^2 k^2}{m_0}$求导，令其导数为$0$，找到价带顶对应的波矢$k_v$。
  $\frac{dE_v(k)}{dk}=-\frac{6\hbar^2 k}{m_0}=0$，解得$k_v = 0$。
  将$k_v = 0$代入$E_v(k)$可得价带顶能量$E_{vmax}$：
  $E_{vmax}=\frac{\hbar^2 k_1^2}{6 m_0}$
• 步骤三：计算禁带宽度
  禁带宽度$E_g = E_{cmin} - E_{vmax}$，即
  $\begin{align*}E_g&=\frac{\hbar^2 k_1^2}{4 m_0} - \frac{\hbar^2 k_1^2}{6 m_0}\\&=\frac{3\hbar^2 k_1^2 - 2\hbar^2 k_1^2}{12 m_0}\\&=\frac{\hbar^2 k_1^2}{12 m_0}\end{align*}$
  将$k_1 = \pi/a$代入可得$E_g = \frac{\hbar^2 (\pi/a)^2}{12 m_0} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{12 m_0 a^2}$。

② 求导带底电子有效质量

电子有效质量公式为$m^* = \hbar^2 (\frac{d^2E}{dk^2})^{-1}$。
对$E_c(k)$求二阶导数：
$\frac{d^2E_c(k)}{dk^2}=\frac{2\hbar^2}{3 m_0}+\frac{2\hbar^2}{m_0}=\frac{2\hbar^2 + 6\hbar^2}{3 m_0}=\frac{8\hbar^2}{3 m_0}$
将$k_c = \frac{3}{4}k_1$代入二阶导数（二阶导数与$k$无关），根据有效质量公式可得导带底电子有效质量$m^*$：
$m^* = \hbar^2 (\frac{8\hbar^2}{3 m_0})^{-1}=\frac{3m_0}{8}$

③ 求价带顶电子有效质量

对$E_v(k)$求二阶导数：
$\frac{d^2E_v(k)}{dk^2}=-\frac{6\hbar^2}{m_0}$
将$k_v = 0$代入二阶导数（二阶导数与$k$无关），根据有效质量公式可得价带顶电子有效质量$m^*$：
$m^* = \hbar^2 (-\frac{6\hbar^2}{m_0})^{-1}=-\frac{m_0}{6}$

④ 求价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化

准动量的变化$\Delta k = k_c - k_v$，已知$k_c = \frac{3}{4}k_1$，$k_v = 0$，$k_1 = \pi/a$，则
$\Delta k = \frac{3}{4}k_1 - 0 = \frac{3\pi}{4a}$
将$a = 0.314 \, \text{nm}$代入可得$\Delta k = \frac{3\pi}{4 \times 0.314 \, \text{nm}} \approx 7.5 \, \text{nm}^{-1}$