题目
设晶格常数为 a 的一维晶格，导带极小值附近能量E_c(k)和价带极大值附近能量E_v(k)分别为[ E_c(k) = (hbar^2 k^2)/(3 m_0) + (hbar^2 (k - k_1)^2)/(m_0) ][ E_v(k) = (hbar^2 k_1^2)/(6 m_0) - (3 hbar^2 k^2)/(m_0) ]式中, m_0 为电子惯性质量, k_1 = pi/a, a = 0.314 , (nm)。试求:① 禁带宽度；② 导带底电子有效质量；③ 价带顶电子有效质量；④ 价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。
设晶格常数为 $a$ 的一维晶格，导带极小值附近能量$E_c(k)$和价带极大值附近能量$E_v(k)$分别为
$E_c(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{3 m_0} + \frac{\hbar^2 (k - k_1)^2}{m_0}$
$E_v(k) = \frac{\hbar^2 k_1^2}{6 m_0} - \frac{3 \hbar^2 k^2}{m_0}$
式中, $m_0$ 为电子惯性质量, $k_1 = \pi/a$, $a = 0.314 \, \text{nm}$。试求:
① 禁带宽度；
② 导带底电子有效质量；
③ 价带顶电子有效质量；
④ 价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。
题目解答
答案
1. 禁带宽度：
\[
E_g = \frac{\hbar^2 k_1^2}{12m_0} = \frac{\hbar^2 (\pi/a)^2}{12m_0} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{12m_0 a^2}
\]
2. 导带底电子有效质量：
\[
m^* = \frac{3m_0}{8}
\]
3. 价带顶电子有效质量：
\[
m^* = -\frac{m_0}{6}
\]
4. 准动量变化：
\[
\Delta k = \frac{3\pi}{4a} = \frac{3\pi}{4 \times 0.314 \, \text{nm}} \approx 7.5 \, \text{nm}^{-1}
\]
最终结果：
1. $E_g = \frac{\hbar^2 k_1^2}{12m_0}$
2. $m^* = \frac{3m_0}{8}$
3. $m^* = -\frac{m_0}{6}$
4. $\Delta k = \frac{3\pi}{4a}$