题目
[例2]当xarrowx_0时,若f(x)的极限存在,g(x)的极限不存在,那么下面说法正确的是()A. f(x)g(x)必定极限存在B. f(x)g(x)必定极限不存在C. 若f(x)g(x)极限存在,极限必定为零D. f(x)g(x)极限可能存在,也可能不存在
[例2]当xarrowx_0时,若f(x)的极限存在,g(x)的极限不存在,那么下面说法正确的是()
A. f(x)g(x)必定极限存在
B. f(x)g(x)必定极限不存在
C. 若f(x)g(x)极限存在,极限必定为零
D. f(x)g(x)极限可能存在,也可能不存在
题目解答
答案
D. f(x)g(x)极限可能存在,也可能不存在
解析
步骤 1：理解极限存在的定义
极限存在的定义是：当x趋近于x_0时，函数f(x)的值趋近于一个确定的数L，即lim_{x→x_0}f(x) = L。如果f(x)的极限存在，那么f(x)在x_0附近的行为是可预测的，它会趋近于一个确定的值。
步骤 2：理解极限不存在的定义
极限不存在的定义是：当x趋近于x_0时，函数g(x)的值不趋近于任何确定的数，即lim_{x→x_0}g(x)不存在。如果g(x)的极限不存在，那么g(x)在x_0附近的行为是不可预测的，它可能趋向于无穷大，或者在不同的路径上趋向于不同的值。
步骤 3：分析f(x)g(x)的极限
当f(x)的极限存在，而g(x)的极限不存在时，f(x)g(x)的极限可能存在也可能不存在。这是因为f(x)的极限存在意味着f(x)在x_0附近的行为是可预测的，而g(x)的极限不存在意味着g(x)在x_0附近的行为是不可预测的。因此，f(x)g(x)的极限可能受到g(x)的影响而不存在，也可能由于f(x)的极限为零而使得f(x)g(x)的极限存在且为零。
极限存在的定义是：当x趋近于x_0时，函数f(x)的值趋近于一个确定的数L，即lim_{x→x_0}f(x) = L。如果f(x)的极限存在，那么f(x)在x_0附近的行为是可预测的，它会趋近于一个确定的值。
步骤 2：理解极限不存在的定义
极限不存在的定义是：当x趋近于x_0时，函数g(x)的值不趋近于任何确定的数，即lim_{x→x_0}g(x)不存在。如果g(x)的极限不存在，那么g(x)在x_0附近的行为是不可预测的，它可能趋向于无穷大，或者在不同的路径上趋向于不同的值。
步骤 3：分析f(x)g(x)的极限
当f(x)的极限存在，而g(x)的极限不存在时，f(x)g(x)的极限可能存在也可能不存在。这是因为f(x)的极限存在意味着f(x)在x_0附近的行为是可预测的，而g(x)的极限不存在意味着g(x)在x_0附近的行为是不可预测的。因此，f(x)g(x)的极限可能受到g(x)的影响而不存在，也可能由于f(x)的极限为零而使得f(x)g(x)的极限存在且为零。