三、简答题（共2题，20.0分）18.（简答题，10.0分）求过点（3，2，1）且与平面3x+4y-z+6=0平行，又与直线(x-3)/(1)=(y+2)/(4)=(z)/(1)垂直的直线方程.

为了求过点 $(3, 2, 1)$ 且与平面 $3x + 4y - z + 6 = 0$ 平行，又与直线 $\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z}{1}$ 垂直的直线方程，我们需要确定该直线的方向向量。该方向向量必须满足两个条件：与平面的法向量垂直，与直线的方向向量垂直。 1. **求平面的法向量：** 平面 $3x + 4y - z + 6 = 0$ 的法向量 $\mathbf{n}$ 为 $(3, 4, -1)$。 2. **求直线的方向向量：** 直线 $\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z}{1}$ 的方向向量 $\mathbf{d_1}$ 为 $(1, 4, 1)$。 3. **求所求直线的方向向量：** 所求直线的方向向量 $\mathbf{d}$ 必须与 $\mathbf{n}$ 垂直，也与 $\mathbf{d_1}$ 垂直。因此，$\mathbf{d}$ 可以通过计算 $\mathbf{n}$ 和 $\mathbf{d_1}$ 的叉积得到： \[ \mathbf{d} = \mathbf{n} \times \mathbf{d_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 1 - (-1) \cdot 4) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) = \mathbf{i}(4 + 4) - \mathbf{j}(3 + 1) + \mathbf{k}(12 - 4) = 8\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 8\mathbf{k} = (8, -4, 8) \] 我们可以将方向向量简化为 $(2, -1, 2)$。 4. **写出直线方程：** 过点 $(3, 2, 1)$ 且方向向量为 $(2, -1, 2)$ 的直线方程为： \[ \frac{x-3}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{2} \] 因此，所求直线的方程为 $\boxed{\frac{x-3}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{2}}$。