(3)oint xds，其中L为由直线y=x及抛物线y=x^2所围成的区域的整个边界；

为了计算线积分 $\oint_L x \, ds$，其中 $L$ 是由直线 $y = x$ 和抛物线 $y = x^2$ 所围成的区域的整个边界，我们需要将边界 $L$ 分成两部分：直线段 $L_1$ 和抛物线段 $L_2$。然后，我们分别计算这两段上的线积分，最后将结果相加。 ### 步骤1：找到交点 首先，找到直线 $y = x$ 和抛物线 $y = x^2$ 的交点。设 $x = x^2$，解得： \[ x^2 - x = 0 \] \[ x(x - 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{或} \quad x = 1 \] 所以，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。 ### 步骤2：参数化直线段 $L_1$ 直线段 $L_1$ 是从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线 $y = x$。可以参数化为： \[ x = t, \quad y = t, \quad 0 \le t \le 1 \] 弧长元素 $ds$ 为： \[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt = \sqrt{1^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{2} \, dt \] 在 $L_1$ 上的线积分为： \[ \int_{L_1} x \, ds = \int_0^1 t \cdot \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_0^1 t \, dt = \sqrt{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] ### 步骤3：参数化抛物线段 $L_2$ 抛物线段 $L_2$ 是从 $(1,1)$ 到 $(0,0)$ 的抛物线 $y = x^2$。可以参数化为： \[ x = t, \quad y = t^2, \quad 1 \ge t \ge 0 \] 弧长元素 $ds$ 为： \[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt = \sqrt{1^2 + (2t)^2} \, dt = \sqrt{1 + 4t^2} \, dt \] 在 $L_2$ 上的线积分为： \[ \int_{L_2} x \, ds = \int_1^0 t \cdot \sqrt{1 + 4t^2} \, dt \] 令 $u = 1 + 4t^2$，则 $du = 8t \, dt$，即 $t \, dt = \frac{1}{8} du$。当 $t = 1$ 时，$u = 5$；当 $t = 0$ 时，$u = 1$。因此，积分变为： \[ \int_{L_2} x \, ds = \int_5^1 \frac{1}{8} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{8} \int_5^1 u^{1/2} \, du = \frac{1}{8} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_5^1 = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left( 1^{3/2} - 5^{3/2} \right) = \frac{1}{12} \left( 1 - \sqrt{125} \right) = \frac{1}{12} \left( 1 - 5\sqrt{5} \right) = \frac{1 - 5\sqrt{5}}{12} \] ### 步骤4：将两段线积分相加 总线积分为： \[ \oint_L x \, ds = \int_{L_1} x \, ds + \int_{L_2} x \, ds = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1 - 5\sqrt{5}}{12} \] ### 最终答案 \[ \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1 - 5\sqrt{5}}{12}} \]