题目

【例38】函数f(x)=(|x|sin(x-2))/(x(x-1)(x-2)^2)在区间( )内有界. (A.)(-1,0) (B.)(0,1) (C.)(1,2) (D.)(2,3)

【例38】函数$f(x)=\frac{|x|\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^{2}}$在区间( )内有界. (
A.)(-1,0) (
B.)(0,1) (
C.)(1,2) (
D.)(2,3)

题目解答

答案

为了确定函数 $f(x) = \frac{|x| \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$ 在哪个区间内有界，我们需要分析函数在给定区间内的行为，特别是关注函数在区间端点和任何奇点附近的性质。

步骤1：识别函数的奇点

函数 $f(x)$ 的分母是 $x(x-1)(x-2)^2$，因此函数在 $x = 0$, $x = 1$, 和 $x = 2$ 处有奇点。

步骤2：分析每个区间内的函数行为

区间 (A) (-1, 0)

  • 在 $x = 0$ 处，函数有奇点。
  • 当 $x$ 接近 0 时， $f(x) \approx \frac{|x| \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} \approx \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$。
  • 由于 $\sin(x-2)$ 在 $x = 0$ 附近是有限的，而 $(x-1)(x-2)^2$ 也有限，所以 $f(x)$ 在 $x$ 接近 0 时不会趋于无穷，因此 $f(x)$ 在 (-1, 0) 内有界。

区间 (B) (0, 1)

  • 在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 处，函数有奇点。
  • 当 $x$ 接近 0 时， $f(x) \approx \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$，这是有限的。
  • 当 $x$ 接近 1 时， $f(x) \approx \frac{|x| \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} \approx \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$。由于 $\sin(x-2)$ 在 $x = 1$ 附近是有限的，而 $(x-1)(x-2)^2$ 趋于 0，所以 $f(x)$ 在 $x$ 接近 1 时趋于无穷，因此 $f(x)$ 在 (0, 1) 内无界。

区间 (C) (1, 2)

  • 在 $x = 1$ 和 $x = 2$ 处，函数有奇点。
  • 当 $x$ 接近 1 时， $f(x) \approx \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$，这是无界的。
  • 当 $x$ 接近 2 时， $f(x) \approx \frac{|x| \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} \approx \frac{2 \sin(x-2)}{2(x-1)(x-2)^2} = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}$。由于 $\sin(x-2) \approx x-2$ 在 $x$ 接近 2 时，所以 $f(x) \approx \frac{x-2}{(x-1)(x-2)^2} = \frac{1}{(x-1)(x-2)}$，这是无界的。
  • 因此， $f(x)$ 在 (1, 2) 内无界。

区间 (D) (2, 3)

  • 在 $x = 2$ 处，函数有奇点。
  • 当 $x$ 接近 2 时， $f(x) \approx \frac{1}{(x-1)(x-2)}$，这是无界的。
  • 因此， $f(x)$ 在 (2, 3) 内无界。

结论

函数 $f(x) = \frac{|x| \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$ 在区间 (-1, 0) 内有界。

答案是 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查函数在区间内的有界性判断，需分析函数在奇点附近的极限行为。

解题核心思路：

  1. 识别奇点：分母为零的点（$x=0,1,2$）是函数的奇点。
  2. 局部近似分析：在每个区间内，当$x$接近奇点时，将分子和分母进行泰勒展开或近似，判断函数值是否趋向无穷大。
  3. 有界性判定：若函数在区间内所有点（包括端点附近）的绝对值均不超过某个常数，则函数在该区间有界。

破题关键点：

  • 分子与分母的消去关系：当$x$接近奇点时，若分子的零点阶数高于分母的零点阶数，函数可能有界。
  • 局部极限计算：通过近似化简，判断函数在奇点附近的增长趋势。

选项分析

A. (-1,0)

  • 奇点：$x=0$（分母为$x$）。
  • 近似化简：当$x \to 0$时，$\sin(x-2) \approx \sin(-2)$为常数，分子$|x| \sin(x-2) \approx x \cdot C$，分母$x(x-1)(x-2)^2 \approx x \cdot (-1) \cdot 4$。
  • 极限结果：$\lim_{x \to 0} f(x) \approx \frac{C}{-4}$，有限，故函数在区间内有界。

B. (0,1)

  • 奇点：$x=1$（分母为$x-1$）。
  • 近似化简：当$x \to 1$时，$\sin(x-2) \approx \sin(-1)$为常数，分母$(x-1)(x-2)^2 \approx 0 \cdot 1 = 0$。
  • 极限结果：$\lim_{x \to 1} f(x) \to \infty$，无界。

C. (1,2)

  • 奇点：$x=1$和$x=2$。
  • 近似化简：
    • $x \to 1$时，分母$(x-1)(x-2)^2 \to 0$，极限趋于无穷大。
    • $x \to 2$时，$\sin(x-2) \approx x-2$，分母$(x-2)^2$，化简后$\lim_{x \to 2} f(x) \approx \frac{1}{x-2} \to \infty$。
  • 结论：无界。

D. (2,3)

  • 奇点：$x=2$（分母为$(x-2)^2$）。
  • 近似化简：当$x \to 2$时，$\sin(x-2) \approx x-2$，分母$(x-2)^2$，化简后$\lim_{x \to 2} f(x) \approx \frac{1}{x-2} \to \infty$。
  • 结论：无界。