设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方案,其一是4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

考查要点：本题主要考查二项分布的概率计算及泊松近似的应用，通过比较两种维修方案下设备故障无法及时处理的概率，判断哪种方案更优。

解题核心思路：

1. 明确问题本质：当设备发生故障时，维修员若正在处理其他故障，则无法及时维修当前故障。需计算两种方案下该事件发生的概率。
2. 分方案分析：
   • 方案一（4人，每人负责20台）：计算某设备故障时，其维修员负责的其他19台设备中至少1台同时故障的概率。
   • 方案二（3人共同负责80台）：计算某设备故障时，其他79台设备中同时故障数超过2台的概率（因3人可同时处理3个故障）。
3. 比较概率大小：通过计算或近似估算，判断哪种方案的概率更小。

破题关键点：

• 独立事件处理：设备故障相互独立，可用二项分布或泊松近似简化计算。
• 泊松近似条件：当试验次数$n$较大，概率$p$较小时，二项分布$B(n,p)$可近似为泊松分布$Pois(\lambda = np)$。

方案一：4人，每人负责20台

1. 单设备分析：某设备故障时，其维修员负责的其他19台设备中至少1台同时故障。
2. 概率计算：
   • 其他19台均不故障的概率为$(0.99)^{19}$。
   • 至少1台故障的概率为：
     $1 - (0.99)^{19} \approx 1 - e^{-0.19} \approx 0.174$
     （用泊松近似，$\lambda = 19 \times 0.01 = 0.19$）

方案二：3人共同负责80台

1. 单设备分析：某设备故障时，其他79台设备中同时故障数需超过2台（因3人可处理3个故障）。
2. 概率计算：
   • 其他79台设备的故障数$Y \sim B(79, 0.01)$。
   • 计算$P(Y \geq 3)$：
     $P(Y \geq 3) = 1 - P(Y=0) - P(Y=1) - P(Y=2)$
     • $P(Y=0) \approx e^{-0.79} \approx 0.453$
     • $P(Y=1) \approx 0.79 \times e^{-0.79} \approx 0.361$
     • $P(Y=2) \approx \frac{0.79^2}{2} \times e^{-0.79} \approx 0.143$
     • $P(Y \geq 3) \approx 1 - 0.453 - 0.361 - 0.143 = 0.043$

比较结果

• 方案一概率：约$17.4\%$
• 方案二概率：约$4.3\%$
  结论：第二种方案无法及时维修的概率更小，更优。