题目
设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方案,其一是4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。
设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方案,其一是4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。
题目解答
答案
答:第二种方案更优。
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为80台设备中发生故障的设备数，X服从二项分布B(80, 0.01)。由于n=80较大，p=0.01较小，可以使用泊松分布近似，即X近似服从泊松分布P(λ)，其中λ=np=80×0.01=0.8。
步骤 2：计算第一种方案的不能及时维修的概率
在第一种方案中，每人负责20台设备，发生故障的概率为0.01，因此每人负责的设备中发生故障的设备数Y服从二项分布B(20, 0.01)。同样，可以使用泊松分布近似，即Y近似服从泊松分布P(λ)，其中λ=np=20×0.01=0.2。每人负责的设备中发生故障的设备数超过1台时，不能及时维修。因此，不能及时维修的概率为P(Y>1)=1-P(Y=0)-P(Y=1)。根据泊松分布的性质，P(Y=0)=e^(-0.2)，P(Y=1)=0.2e^(-0.2)。因此，不能及时维修的概率为1-e^(-0.2)-0.2e^(-0.2)≈0.0175。由于有4人维护，因此不能及时维修的概率为1-(1-0.0175)^4≈0.0687。
步骤 3：计算第二种方案的不能及时维修的概率
在第二种方案中，3人共同维护80台设备，发生故障的设备数X服从泊松分布P(λ)，其中λ=np=80×0.01=0.8。当发生故障的设备数超过3台时，不能及时维修。因此，不能及时维修的概率为P(X>3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)。根据泊松分布的性质，P(X=0)=e^(-0.8)，P(X=1)=0.8e^(-0.8)，P(X=2)=0.32e^(-0.8)，P(X=3)=0.0533e^(-0.8)。因此，不能及时维修的概率为1-e^(-0.8)-0.8e^(-0.8)-0.32e^(-0.8)-0.0533e^(-0.8)≈0.0036。
步骤 4：比较两种方案的不能及时维修的概率
比较两种方案的不能及时维修的概率，第二种方案的概率更小，因此第二种方案更优。
设X为80台设备中发生故障的设备数，X服从二项分布B(80, 0.01)。由于n=80较大，p=0.01较小，可以使用泊松分布近似，即X近似服从泊松分布P(λ)，其中λ=np=80×0.01=0.8。
步骤 2：计算第一种方案的不能及时维修的概率
在第一种方案中，每人负责20台设备，发生故障的概率为0.01，因此每人负责的设备中发生故障的设备数Y服从二项分布B(20, 0.01)。同样，可以使用泊松分布近似，即Y近似服从泊松分布P(λ)，其中λ=np=20×0.01=0.2。每人负责的设备中发生故障的设备数超过1台时，不能及时维修。因此，不能及时维修的概率为P(Y>1)=1-P(Y=0)-P(Y=1)。根据泊松分布的性质，P(Y=0)=e^(-0.2)，P(Y=1)=0.2e^(-0.2)。因此，不能及时维修的概率为1-e^(-0.2)-0.2e^(-0.2)≈0.0175。由于有4人维护，因此不能及时维修的概率为1-(1-0.0175)^4≈0.0687。
步骤 3：计算第二种方案的不能及时维修的概率
在第二种方案中，3人共同维护80台设备，发生故障的设备数X服从泊松分布P(λ)，其中λ=np=80×0.01=0.8。当发生故障的设备数超过3台时，不能及时维修。因此，不能及时维修的概率为P(X>3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)。根据泊松分布的性质，P(X=0)=e^(-0.8)，P(X=1)=0.8e^(-0.8)，P(X=2)=0.32e^(-0.8)，P(X=3)=0.0533e^(-0.8)。因此，不能及时维修的概率为1-e^(-0.8)-0.8e^(-0.8)-0.32e^(-0.8)-0.0533e^(-0.8)≈0.0036。
步骤 4：比较两种方案的不能及时维修的概率
比较两种方案的不能及时维修的概率，第二种方案的概率更小，因此第二种方案更优。