题目
23.intsqrt((1-x)/(1+x))(dx)/(x).
23.$\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\frac{dx}{x}.$
题目解答
答案
令 $u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$，则 $x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$，$dx = \frac{-4u}{(1+u^2)^2}du$。代入原积分得：
\[
\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \frac{dx}{x} = \int \frac{-4u^2}{(1+u^2)(1-u^2)} du = \int \left(4 + \frac{2}{u-1} - \frac{2}{u+1}\right) du.
\]
积分得：
\[
4u + 2 \ln \left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C = 4 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + 2 \ln \left|\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}}\right| + C.
\]
或令 $x = \sin \theta$，则：
\[
\int \frac{1-x}{x\sqrt{1-x^2}} dx = \int \csc \theta d\theta - \int d\theta = \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{|x|}\right| - \arcsin x + C.
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{aligned}
&4 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + 2 \ln \left|\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}}\right| + C, \\
&\text{或} \quad \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{|x|}\right| - \arcsin x + C.
\end{aligned}
}
\]
解析
步骤 1：变量替换
令 $u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$，则 $x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$，$dx = \frac{-4u}{(1+u^2)^2}du$。代入原积分得：
\[ \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \frac{dx}{x} = \int \frac{-4u^2}{(1+u^2)(1-u^2)} du. \]
步骤 2：分部积分
将被积函数分解为部分分式：
\[ \int \frac{-4u^2}{(1+u^2)(1-u^2)} du = \int \left(4 + \frac{2}{u-1} - \frac{2}{u+1}\right) du. \]
步骤 3：积分计算
对分解后的部分分式进行积分：
\[ 4u + 2 \ln \left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C. \]
步骤 4：回代变量
将 $u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 回代到积分结果中：
\[ 4 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + 2 \ln \left|\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}}\right| + C. \]
步骤 5：另一种方法
令 $x = \sin \theta$，则：
\[ \int \frac{1-x}{x\sqrt{1-x^2}} dx = \int \csc \theta d\theta - \int d\theta = \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{|x|}\right| - \arcsin x + C. \]
令 $u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$，则 $x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$，$dx = \frac{-4u}{(1+u^2)^2}du$。代入原积分得：
\[ \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \frac{dx}{x} = \int \frac{-4u^2}{(1+u^2)(1-u^2)} du. \]
步骤 2：分部积分
将被积函数分解为部分分式：
\[ \int \frac{-4u^2}{(1+u^2)(1-u^2)} du = \int \left(4 + \frac{2}{u-1} - \frac{2}{u+1}\right) du. \]
步骤 3：积分计算
对分解后的部分分式进行积分：
\[ 4u + 2 \ln \left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C. \]
步骤 4：回代变量
将 $u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 回代到积分结果中：
\[ 4 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + 2 \ln \left|\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}}\right| + C. \]
步骤 5：另一种方法
令 $x = \sin \theta$，则：
\[ \int \frac{1-x}{x\sqrt{1-x^2}} dx = \int \csc \theta d\theta - \int d\theta = \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{|x|}\right| - \arcsin x + C. \]