求方程组的通解 =x+y dfrac {dy)(dt)=2y ..

考查要点：本题主要考查常微分方程组的解法，特别是通过消元法将方程组转化为一阶线性微分方程，并利用积分因子法求解。

解题核心思路：

1. 消去参数$t$：通过将两个微分方程相除，得到$\dfrac{dx}{dy}$，从而消去时间变量$t$，将方程组转化为关于$x$和$y$的微分方程。
2. 识别方程类型：将方程整理为一阶线性微分方程的标准形式$\dfrac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$。
3. 应用积分因子法：通过计算积分因子，求解通解。

破题关键点：

• 正确消元：利用$\dfrac{dx}{dt} / \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dx}{dy}$，前提是$\dfrac{dy}{dt} \neq 0$。
• 积分因子的计算：准确计算积分因子$\mu(y) = e^{\int -\dfrac{1}{2y} dy}$。

步骤1：消去参数$t$

由方程组：
$\begin{cases}\dfrac{dx}{dt} = x + y \\\dfrac{dy}{dt} = 2y\end{cases}$
将两式相除，消去$dt$：
$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{\dfrac{dx}{dt}}{\dfrac{dy}{dt}} = \dfrac{x + y}{2y}.$

步骤2：整理为一阶线性方程

将方程变形为：
$\dfrac{dx}{dy} - \dfrac{1}{2y}x = \dfrac{1}{2}.$
此时方程符合标准形式$\dfrac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$，其中：
$P(y) = -\dfrac{1}{2y}, \quad Q(y) = \dfrac{1}{2}.$

步骤3：计算积分因子

积分因子为：
$\mu(y) = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\dfrac{1}{2y} dy} = e^{-\dfrac{1}{2} \ln y} = y^{-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{y}}.$

步骤4：应用通解公式

通解公式为：
$x = \dfrac{1}{\mu(y)} \left( \int \mu(y) Q(y) dy + C \right).$
代入$\mu(y)$和$Q(y)$：
$x = \sqrt{y} \left( \int \dfrac{1}{2\sqrt{y}} dy + C \right).$

步骤5：计算积分并化简

计算积分：
$\int \dfrac{1}{2\sqrt{y}} dy = \sqrt{y} + C.$
代入通解公式：
$x = \sqrt{y} \cdot (\sqrt{y} + C) = y + C\sqrt{y}.$