题目
三、判断题（共10题，10.0分）43.（判断题，1.0分）lim_(xto0)(1+x)^(1)/(x)=e.（）A 对B 错
三、判断题（共10题，10.0分）
43.（判断题，1.0分）
$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e.$
（）
A 对
B 错
题目解答
答案
设 $y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$，取对数得 $\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}$。当 $x \to 0$ 时，利用洛必达法则：
\[
\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1
\]
因此，$\lim_{x \to 0} y = e^1 = e$。或者，由 $e$ 的定义：
\[
e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}
\]
答案：$\boxed{A}$
解析
考查要点：本题主要考查自然对数的底数$e$的定义及其极限形式的理解，以及利用洛必达法则求解不定式极限的能力。
解题核心思路：
- 关键知识点：自然对数的底数$e$的定义为$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$，这是解决本题的核心。
- 破题关键：通过取对数将原式转化为可直接应用洛必达法则的形式，或直接利用$e$的定义直接判断。
方法一：利用洛必达法则
- 设$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$，取自然对数得$\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}$。
- 当$x \to 0$时，$\ln(1+x) \to 0$，$x \to 0$，形成$\frac{0}{0}$型不定式，可应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1$ - 因此，$\lim_{x \to 0} y = e^1 = e$。
方法二：直接利用$e$的定义
根据$e$的定义：
$e = \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$
直接可得原式等于$e$。