int dfrac (ln x)({(1+{x)^2)}^3/2}dx;

考查要点：本题主要考查分部积分法和三角替换法的综合应用，涉及对复杂积分的拆分与处理。

解题核心思路：

1. 分部积分法的选择：将积分拆分为两部分，其中一部分通过已知积分简化。
2. 三角替换法的应用：处理形如$(1+x^2)^{3/2}$的分母结构，通过$x = \tan t$简化积分。
3. 关键步骤：通过分部积分将原积分转化为更简单的积分形式，最终结合对数函数的积分结果。

步骤1：计算辅助积分 $\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx$

三角替换：令 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t \, dt$，且 $1 + x^2 = \sec^2 t$。
代入后积分变为：
$\int \frac{\sec^2 t}{(\sec^3 t)} dt = \int \cos t \, dt = \sin t + C.$
回代：$\sin t = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，故结果为：
$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C.$

步骤2：应用分部积分法

设 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x} dx$；
设 $dv = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx$，则 $v = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$（由步骤1结果）。
分部积分公式：
$\int u \, dv = uv - \int v \, du.$
代入得：
$\frac{x \ln x}{\sqrt{1+x^2}} - \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{1}{x} dx.$

步骤3：简化剩余积分

剩余积分 $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx$ 的标准结果为：
$\ln \left( x + \sqrt{1+x^2} \right) + C.$

步骤4：组合结果

最终结果为：
$\frac{x \ln x}{\sqrt{1+x^2}} - \ln \left( x + \sqrt{1+x^2} \right) + C.$