计算星形线 =a(cos )^3t =a(sin )^3t 的全长.

步骤 1：确定曲线的参数方程
星形线的参数方程为 $x=a{\cos }^{3}t$ 和 $y=a{\sin }^{3}t$，其中 $t$ 是参数。

步骤 2：计算曲线的弧长微分
根据弧长微分公式 $ds=\sqrt{{(\frac{dx}{dt})}^{2}+{(\frac{dy}{dt})}^{2}}dt$，我们首先需要计算 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$。
- $\frac{dx}{dt}=-3a{\cos }^{2}t\sin t$
- $\frac{dy}{dt}=3a{\sin }^{2}t\cos t$

步骤 3：计算弧长
将 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$ 代入弧长微分公式，得到 $ds=\sqrt{{(-3a{\cos }^{2}t\sin t)}^{2}+{(3a{\sin }^{2}t\cos t)}^{2}}dt$。
化简得到 $ds=3a\sqrt{{\cos }^{4}t{\sin }^{2}t+{\sin }^{4}t{\cos }^{2}t}dt$。
进一步化简得到 $ds=3a\sqrt{{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)}dt$。
由于 ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$，所以 $ds=3a\sqrt{{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t}dt$。
化简得到 $ds=3a|\cos t\sin t|dt$。
由于星形线在 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的区间内，$\cos t$ 和 $\sin t$ 都是非负的，所以 $ds=3a\cos t\sin tdt$。

步骤 4：计算星形线的全长
星形线的全长为 $s=4{\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}3a\cos t\sin tdt$。
化简得到 $s=12a{\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\sin tdt$。
利用换元法，令 $u=\sin t$，则 $du=\cos tdt$。
当 $t=0$ 时，$u=0$；当 $t=\frac{\pi}{2}$ 时，$u=1$。
所以 $s=12a{\int }_{0}^{1}udu$。
计算得到 $s=12a\frac{1}{2}{u}^{2}{|}_{0}^{1}=6a$。