题目
设 I_(1)=iint_(D) ln (x+y), dsigma, I_(2)=iint_(D) (x+y)^2 , dsigma, I_(3)=iint_(D) (x+y), dsigma, 其中 D 是由直线 x=0, y=0, x+y=(1)/(2) 及 x+y=1 所围成的区域，则 I_(1), I_(2), I_(3) 的大小顺序为(）.A. I_(1) B. I_(3) C. I_(3) D. I_(1)
设 $I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)\, d\sigma$, $I_{2}=\iint_{D} (x+y)^{2} \, d\sigma$, $I_{3}=\iint_{D} (x+y)\, d\sigma$, 其中 $D$ 是由直线 $x=0, y=0, x+y=\frac{1}{2}$ 及 $x+y=1$ 所围成的区域，则 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 的大小顺序为(）.
A. $I_{1} < I_{3} < I_{2}$
B. $I_{3} < I_{1} < I_{2}$
C. $I_{3} < I_{2} < I_{1}$
D. $I_{1} < I_{2} < I_{3}$
题目解答
答案
D. $I_{1} < I_{2} < I_{3}$
解析
步骤 1：分析被积函数的性质
- $f_1(x,y) = \ln(x+y)$：在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 内恒负（$\ln\left(\frac{1}{2}\right) < 0$），故 $I_1 < 0$。
- $f_2(x,y) = (x+y)^2$：取值范围为 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$，恒正。
- $f_3(x,y) = x+y$：取值范围为 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$，恒正。
步骤 2：比较被积函数
- 当 $\frac{1}{2} \leq x+y < 1$ 时，$(x+y)^2 < x+y$，且在 $x+y = 1$ 时相等，故 $I_2 < I_3$。
步骤 3：得出结论
- $I_1 < 0 < I_2 < I_3$，因此大小顺序为 $I_1 < I_2 < I_3$。
- $f_1(x,y) = \ln(x+y)$：在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 内恒负（$\ln\left(\frac{1}{2}\right) < 0$），故 $I_1 < 0$。
- $f_2(x,y) = (x+y)^2$：取值范围为 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$，恒正。
- $f_3(x,y) = x+y$：取值范围为 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$，恒正。
步骤 2：比较被积函数
- 当 $\frac{1}{2} \leq x+y < 1$ 时，$(x+y)^2 < x+y$，且在 $x+y = 1$ 时相等，故 $I_2 < I_3$。
步骤 3：得出结论
- $I_1 < 0 < I_2 < I_3$，因此大小顺序为 $I_1 < I_2 < I_3$。