题目
3.A为n阶矩阵，且满足A^2+A-4E=0，则A-E可逆，且(A-E)^-1=____.
3.A为n阶矩阵，且满足$A^{2}+A-4E=0$，则A-E可逆，且$(A-E)^{-1}=$____.
题目解答
答案
由题意，矩阵 $ A $ 满足 $ A^2 + A - 4E = 0 $。将等式变形为：
\[
A^2 + A - 2E = 2E
\]
提取公因式 $ A - E $：
\[
(A - E)(A + 2E) = 2E
\]
根据矩阵可逆的定义，若存在矩阵 $ B $ 使得 $ (A - E)B = E $，则 $ A - E $ 可逆。这里，令 $ B = \frac{1}{2}(A + 2E) $，则：
\[
(A - E)B = (A - E) \cdot \frac{1}{2}(A + 2E) = \frac{1}{2} \cdot 2E = E
\]
因此，$ A - E $ 可逆，且其逆矩阵为：
\[
(A - E)^{-1} = \frac{1}{2}(A + 2E)
\]
答案：$\frac{1}{2}(A + 2E)$