曲线=sqrt ({x)^3}在点=sqrt ({x)^3}处的切线与法线方程为 ()A.切线： =sqrt ({x)^3} 法线：=sqrt ({x)^3}B.切线： =sqrt ({x)^3} 法线：=sqrt ({x)^3}C.切线： =sqrt ({x)^3} 法线：=sqrt ({x)^3}D.切线： =sqrt ({x)^3} 法线：=sqrt ({x)^3}
曲线
在点
处的切线与法线方程为 ()
A.切线： 
法线：
B.切线： 
法线：
C.切线： 
法线：
D.切线： 
法线：
题目解答
答案
本道题考察了如何利用导数来求曲线于某点的切线斜率，法线斜率与切线斜率的关系以及函数的求导。
对曲线求导可得：
将点的横坐标
代入导数
中则有：
切线斜率为
，且经过点，利用点斜式可得切线方程为：
化简为：
由切线的斜率与法线的斜率互为负倒数负倒数可知法线斜率为
。
同上可知则法线方程为：
化简为：
综上对比，本道题选D
解析
考查要点：本题主要考查利用导数求曲线在某点处的切线方程和法线方程，涉及导数的计算、点斜式方程的应用，以及切线与法线斜率的关系。
解题核心思路：
- 求导数：确定曲线在给定点的导数值，即切线的斜率。
- 求法线斜率：法线斜率为切线斜率的负倒数。
- 点斜式方程：利用点斜式分别写出切线和法线方程。
破题关键点：
- 正确求导：将函数$y=\sqrt{x^3}$化简为幂函数形式，再求导。
- 代入点坐标：验证点$(1,1)$是否在曲线上，确保计算的准确性。
1. 求导数
将函数$y=\sqrt{x^3}$化简为幂函数形式：
$y = x^{\frac{3}{2}}$
对$x$求导：
$y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$
2. 计算切线斜率
在点$(1,1)$处，代入$x=1$：
$y'\big|_{x=1} = \frac{3}{2} \times 1^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$
因此，切线斜率为$\frac{3}{2}$。
3. 求切线方程
用点斜式方程：
$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$
化简得：
$y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$
4. 求法线斜率
法线斜率为切线斜率的负倒数：
$k_{\text{法线}} = -\frac{1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}$
5. 求法线方程
用点斜式方程：
$y - 1 = -\frac{2}{3}(x - 1)$
化简得：
$y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$