2.24 求卷积积分: (t)=g(t)*h(t),-|||-(a) (t)=(e)^-at(t), (t)=(e)^-gt(t) ;-|||-(b) (t)=g(t)-2g(t-2)+g(t-5) (t)=(e)^2t(1-t) ;-|||-(c) (t)=(e)^-3t(t), (t)=g(t-1)

步骤 1：卷积积分定义
卷积积分定义为：$r(t) = e(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e(\tau)h(t-\tau)d\tau$。对于给定的函数，我们将根据定义计算卷积积分。

步骤 2：计算卷积积分(a)
对于(a) $e(t) = e^{-at}u(t)$ 和 $h(t) = e^{-\beta t}u(t)$，卷积积分变为：$r(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\tau}u(\tau)e^{-\beta(t-\tau)}u(t-\tau)d\tau$。由于 $u(t)$ 是单位阶跃函数，积分范围变为 $0$ 到 $t$。因此，$r(t) = \int_{0}^{t} e^{-a\tau}e^{-\beta(t-\tau)}d\tau = e^{-\beta t}\int_{0}^{t} e^{-(a-\beta)\tau}d\tau$。根据 $a$ 和 $\beta$ 的关系，积分结果分为两种情况：$a=\beta$ 和 $a\neq\beta$。

步骤 3：计算卷积积分(b)
对于(b) $e(t) = u(t) - 2u(t-2) + u(t-5)$ 和 $h(t) = e^{2t}(1-t)u(t)$，卷积积分变为：$r(t) = \int_{-\infty}^{\infty} [u(\tau) - 2u(\tau-2) + u(\tau-5)]e^{2(t-\tau)}(1-(t-\tau))u(t-\tau)d\tau$。根据 $u(t)$ 的性质，积分范围分为 $t\leqslant 1$，$1\leqslant t\leqslant 3$，$3\leqslant t\leqslant 6$ 和 $t\gt 6$ 四种情况。

步骤 4：计算卷积积分(c)
对于(c) $e(t) = e^{-3t}u(t)$ 和 $h(t) = u(t-1)$，卷积积分变为：$r(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-3\tau}u(\tau)u(t-\tau-1)d\tau$。由于 $u(t)$ 是单位阶跃函数，积分范围变为 $1$ 到 $t$。因此，$r(t) = \int_{1}^{t} e^{-3\tau}d\tau$。