设 A 为 m times n 矩阵，则下列结论中不正确的是 ( ).(A) A^T A 是对称矩阵；(B) AA^T 是对称矩阵；(C) E + A^T A 是对称矩阵，其中 E 为 n 阶单位阵；(D) A^T A + AA^T 是对称矩阵。

我们来逐项分析题目中的每一个选项，判断哪一个不正确。

题目：设 $ A $ 为 $ m \times n $ 矩阵，判断下列结论中不正确的是哪一个。

先回顾一个基本性质：

对于任意矩阵 $ B $，若 $ B^T = B $，则 $ B $ 是对称矩阵。

我们还知道转置的运算法则：

• $ (A^T)^T = A $
• $ (AB)^T = B^T A^T $
• $ (A + B)^T = A^T + B^T $
• $ (cA)^T = cA^T $
• 单位矩阵 $ E $ 是对称的，因为 $ E^T = E $

分析选项：

(A) $ A^T A $ 是对称矩阵

我们计算其转置：

$(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A$

因为 $ (A^T)^T = A $，所以：

$(A^T A)^T = A^T A$

说明 $ A^T A $ 是对称矩阵。

✅ 正确

(B) $ AA^T $ 是对称矩阵

同样计算转置：

$(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = A A^T$

所以 $ (AA^T)^T = AA^T $，说明它是对称矩阵。

✅ 正确

(C) $ E + A^T A $ 是对称矩阵，其中 $ E $ 为 $ n $ 阶单位阵

我们分析这个矩阵的结构：

• $ A $ 是 $ m \times n $，所以 $ A^T $ 是 $ n \times m $
• $ A^T A $ 是 $ n \times n $ 矩阵
• $ E $ 是 $ n $ 阶单位阵，也是 $ n \times n $

所以 $ E + A^T A $ 是 $ n \times n $ 矩阵，维度没问题。

现在看对称性：

$(E + A^T A)^T = E^T + (A^T A)^T = E + A^T A$

因为 $ E^T = E $，且前面已证 $ (A^T A)^T = A^T A $

所以转置后不变，是对称矩阵。

✅ 正确

(D) $ A^T A + AA^T $ 是对称矩阵

我们来分析这个表达式。

先看维度：

• $ A^T A $ 是 $ n \times n $
• $ AA^T $ 是 $ m \times m $

所以 $ A^T A $ 和 $ AA^T $ 的阶数不同（除非 $ m = n $），不能相加！

例如：若 $ A $ 是 $ 3 \times 2 $ 矩阵，则：

• $ A^T A $ 是 $ 2 \times 2 $
• $ AA^T $ 是 $ 3 \times 3 $

两者维度不同，无法相加。

因此，表达式 $ A^T A + AA^T $ 在一般情况下是没有定义的，除非 $ m = n $。

但题目中只说 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，没有说明 $ m = n $，所以这个加法不总是合法。

即使我们假设 $ m = n $，使得两者都是 $ n \times n $，我们再看对称性：

$(A^T A + AA^T)^T = (A^T A)^T + (AA^T)^T = A^T A + AA^T$

所以在 $ m = n $ 时，它是对称的。

但问题在于：当 $ m \ne n $ 时，这个矩阵加法没有定义，因此 $ A^T A + AA^T $ 作为一个矩阵表达式是不合法的。

而题目问的是“下列结论中不正确的是”，即哪个命题是错的。

(D) 声称 $ A^T A + AA^T $ 是对称矩阵，但这个矩阵在 $ m \ne n $ 时根本不存在（无法相加），所以不能说它是对称矩阵。

因此，这个结论不总是成立，在一般情况下是不正确的。

❌ 不正确

结论：

四个选项中，(A)、(B)、(C) 都是正确的，(D) 是不正确的，因为 $ A^T A $ 和 $ AA^T $ 维度不同，无法相加。

最终答案：

$\boxed{\text{(D)}}$