设幂级数 sum _(n=1)^infty (a)_(n)(x)^n 与sum _(n=1)^infty (b)_(n)(x)^n 的收敛半径分别为 dfrac (sqrt {5)}(3) 与1/3, 则幂级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({{a)_(n)}^2}({{b)_(n)}^2}(x)^n 的收敛半径-|||-为-|||-(A)5; (B) √5/3; C) 1/3: (D) 1/5.

本题考查幂级数收敛半径的计算，解题思路是先根据已知幂级数的收敛半径得出系数的极限关系，再利用这些关系求出所求幂级数的收敛半径。

步骤一：根据收敛半径与系数的关系得到已知条件

对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$，其收敛半径$R_1=\frac{\sqrt{5}}{3}$，根据幂级数收敛半径的公式$R = \lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}|$（当该极限存在时），可得$\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}|=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
同理，对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}x^{n}$，其收敛半径$R_2=\frac{1}{3}$，则$\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{b_{n}}{b_{n + 1}}|=\frac{1}{3}$。

步骤二：求幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}^{2}}x^{n}$的收敛半径

设幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}^{2}}x^{n}$的收敛半径为$R$，根据幂级数收敛半径公式可得：
$R = \lim\limits_{n \to \infty}|\frac{\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}^{2}}}{\frac{a_{n + 1}^{2}}{b_{n + 1}^{2}}}|=\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}^{2}}\cdot\frac{b_{n + 1}^{2}}{a_{n + 1}^{2}}|$
根据极限的运算法则，可将上式变形为：
$R = \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{|a_{n}|}{|a_{n + 1}|})^2\cdot\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{|b_{n + 1}|}{|b_{n}|})^2$
由步骤一可知$\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}|=\frac{\sqrt{5}}{3}$，则$\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{|a_{n}|}{|a_{n + 1}|})^2 = (\frac{\sqrt{5}}{3})^2=\frac{5}{9}$；
$\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{b_{n}}{b_{n + 1}}|=\frac{1}{3}$，则$\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{|b_{n + 1}|}{|b_{n}|})^2 = (\frac{3}{1})^2 = 9$。
将上述结果代入$R$的表达式可得：
$R = \frac{5}{9} \times 9 = 5$