题目

38. (6.0分) 求微分方程y"-5y'+6y=xe^2x的通解. 解：所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x)呈 e^lambda xP_(m)(x) 型（其中λ=2，P_(m)(x)=x）. 与所给方程对应的其次方程为y"-5y'+6y=0， 它的特征方程r^2-5r+6=0有两个实根underline(1). 于是与所给方程对应的其次方程的通解为underline(2). 由于λ=2是特征方程的单根，所以应设y^*=x(b_(0)x+b_(1))e^2x,

38. (6.0分) 求微分方程y"-5y'+6y=xe^{2x}的通解. 解：所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x)呈 $e^{\lambda x}P_{m}(x)$ 型（其中λ=2，$P_{m}(x)=x$）. 与所给方程对应的其次方程为y"-5y'+6y=0， 它的特征方程$r^{2}-5r+6=0$有两个实根$\underline{1}$. 于是与所给方程对应的其次方程的通解为$\underline{2}$. 由于λ=2是特征方程的单根，所以应设$y^{*}=x(b_{0}x+b_{1})e^{2x}$,

题目解答

答案

为了求解微分方程 $y'' - 5y' + 6y = xe^{2x}$ 的通解，我们需要找到齐次解和特解，然后将它们相加。

步骤1：求解齐次方程

首先，考虑与给定方程对应的齐次方程：
$y'' - 5y' + 6y = 0$

该方程的特征方程为：
$r^2 - 5r + 6 = 0$

解这个二次方程：
$(r - 2)(r - 3) = 0$
$r = 2, \quad r = 3$

特征方程有两个不同的实根 $r = 2$ 和 $r = 3$。因此，齐次方程的通解为：
$y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$

步骤2：求解特解

给定的非齐次项 $f(x) = xe^{2x}$ 呈 $e^{\lambda x} P_m(x)$ 型，其中 $\lambda = 2$ 且 $P_m(x) = x$（一个1次多项式）。

由于 $\lambda = 2$ 是特征方程的单根，特解 $y_p$ 应设为：
$y_p = x (b_0 x + b_1) e^{2x}$

步骤3：计算特解的导数

计算 $y_p$ 的一阶导数 $y_p'$：
$y_p = x (b_0 x + b_1) e^{2x}$
$y_p' = (b_0 x + b_1) e^{2x} + x (b_0 x + b_1) \cdot 2 e^{2x} + x \cdot b_0 e^{2x}$
$y_p' = (b_0 x + b_1) e^{2x} + (2b_0 x^2 + 2b_1 x + b_0 x) e^{2x}$
$y_p' = (2b_0 x^2 + (2b_1 + b_0) x + b_1) e^{2x}$

计算 $y_p$ 的二阶导数 $y_p''$：
$y_p' = (2b_0 x^2 + (2b_1 + b_0) x + b_1) e^{2x}$
$y_p'' = (4b_0 x + 2b_1 + b_0) e^{2x} + (2b_0 x^2 + (2b_1 + b_0) x + b_1) \cdot 2 e^{2x}$
$y_p'' = (4b_0 x + 2b_1 + b_0) e^{2x} + (4b_0 x^2 + (4b_1 + 2b_0) x + 2b_1) e^{2x}$
$y_p'' = (4b_0 x^2 + (4b_1 + 6b_0) x + (2b_1 + 2b_1 + b_0)) e^{2x}$
$y_p'' = (4b_0 x^2 + (4b_1 + 6b_0) x + (4b_1 + b_0)) e^{2x}$

步骤4：代入原方程

将 $y_p$, $y_p'$, $y_p''$ 代入原方程 $y'' - 5y' + 6y = xe^{2x}$：
$(4b_0 x^2 + (4b_1 + 6b_0) x + (4b_1 + b_0)) e^{2x} - 5 (2b_0 x^2 + (2b_1 + b_0) x + b_1) e^{2x} + 6 x (b_0 x + b_1) e^{2x} = xe^{2x}$

合并同类项：
$(4b_0 x^2 + (4b_1 + 6b_0) x + (4b_1 + b_0) - 10b_0 x^2 - 5(2b_1 + b_0) x - 5b_1 + 6b_0 x^2 + 6b_1 x) e^{2x} = xe^{2x}$

简化：
$(4b_1 + 6b_0 - 10b_1 - 5b_0 + 6b_1) x + (4b_1 + b_0 - 5b_1 - 5b_0 + 6b_1)$ $= x$

$(b_0 - 2b_1) x + (4b_1 - 4b_0) = x$

步骤5：解方程组

比较系数，得到方程组：
$b_0 - 2b_1 = 1$
$4b_1 - 4b_0 = 0$

解这个方程组：
$b_1 = b_0$
$b_0 - 2b_0 = 1$
$-b_0 = 1$
$b_0 = -1$
$b_1 = -1$

步骤6：写出特解

将 $b_0 = -1$ 和 $b_1 = -1$ 代入 $y_p$:
$y_p = x (-x - 1) e^{2x}$
$y_p = (-x^2 - x) e^{2x}$

步骤7：写出通解

将齐次解 $y_h$ 和特解 $y_p$ 相加，得到通解：
$y = y_h + y_p$
$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + (-x^2 - x) e^{2x}$

最终答案

$\boxed{y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + (-x^2 - x) e^{2x}}$

解析

考查要点：本题主要考查二阶常系数非齐次线性微分方程的解法，涉及齐次方程通解的求解、特解的构造方法以及待定系数法的应用。

解题核心思路：

  1. 求齐次方程的通解：通过特征方程法求解对应的齐次方程，得到齐次解。
  2. 构造特解形式：根据非齐次项 $xe^{2x}$ 的形式，结合特征根是否重合，确定特解的结构。
  3. 待定系数法求解：将特解代入原方程，通过比较系数确定待定系数，最终得到通解。

破题关键点：

  • 特征方程的根：判断非齐次项中的指数因子是否为特征根，决定特解形式是否需要乘以 $x^k$。
  • 待定系数法的计算：正确展开并整理方程，建立系数方程组。

步骤1：求解齐次方程

对应的齐次方程为：
$y'' - 5y' + 6y = 0$
特征方程为：
$r^2 - 5r + 6 = 0$
解得特征根：
$r = 2, \quad r = 3$
因此，齐次方程的通解为：
$y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$

步骤2：构造特解形式

非齐次项 $xe^{2x}$ 属于 $e^{\lambda x}P_m(x)$ 型，其中 $\lambda = 2$，$P_m(x) = x$（1次多项式）。
由于 $\lambda = 2$ 是特征方程的单根，特解形式需乘以 $x$，即设：
$y^* = x(b_0 x + b_1)e^{2x}$

步骤3：代入原方程求解系数

  1. 计算导数：

    • 一阶导数：
      $y^* = x(b_0 x + b_1)e^{2x}$
      $y'^* = (b_0 x + b_1)e^{2x} + x(b_0 x + b_1) \cdot 2e^{2x} + x \cdot b_0 e^{2x}$
      $= (2b_0 x^2 + (2b_1 + b_0)x + b_1)e^{2x}$
    • 二阶导数：
      $y''^* = (4b_0 x + 2b_1 + b_0)e^{2x} + (2b_0 x^2 + (2b_1 + b_0)x + b_1) \cdot 2e^{2x}$
      $= (4b_0 x^2 + (4b_1 + 6b_0)x + (4b_1 + b_0))e^{2x}$

  2. 代入原方程：
    $y''^* - 5y'^* + 6y^* = xe^{2x}$
    展开并整理后，比较系数得方程组：
    $\begin{cases} b_0 - 2b_1 = 1 \\ 4b_1 - 4b_0 = 0 \end{cases}$
    解得：
    $b_0 = -1, \quad b_1 = -1$

  3. 特解形式：
    $y_p = (-x^2 - x)e^{2x}$

步骤4：写出通解

通解为齐次解与特解之和：
$y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + (-x^2 - x)e^{2x}$