题目
设A为n阶矩阵，^2-A-1=0.证明：^2-A-1=0可逆，并求其逆.
设A为n阶矩阵，
.证明：
可逆，并求其逆.
题目解答
答案
证明：已知A为n阶矩阵，，则有
，故得到
，则有
，故证得可逆.
解析
步骤 1：利用已知条件构造等式
已知${A}^{2}-A-I=0$，我们可以通过构造等式来证明A+3I可逆。首先，我们尝试构造一个等式，使得A+3I出现在等式的一边，而等式的另一边为单位矩阵I。
步骤 2：构造等式
我们构造等式$(A+3I)(A-4I)+11I=0$。这个等式可以通过展开和简化得到。首先，我们展开左边的乘积：
$(A+3I)(A-4I) = A^2 - 4A + 3A - 12I = A^2 - A - 12I$。
根据已知条件${A}^{2}-A-I=0$，我们可以将$A^2 - A$替换为$I$，得到：
$A^2 - A - 12I = I - 12I = -11I$。
因此，我们有$(A+3I)(A-4I) = -11I$，即$(A+3I)(A-4I)+11I=0$。
步骤 3：求逆矩阵
从$(A+3I)(A-4I)+11I=0$，我们可以得到$(A+3I)(A-4I)=-11I$。两边同时乘以$-\dfrac{1}{11}$，得到$(A+3I)(-\dfrac{1}{11}A+\dfrac{4}{11}I)=I$。这表明$A+3I$的逆矩阵为$-\dfrac{1}{11}A+\dfrac{4}{11}I$。
已知${A}^{2}-A-I=0$，我们可以通过构造等式来证明A+3I可逆。首先，我们尝试构造一个等式，使得A+3I出现在等式的一边，而等式的另一边为单位矩阵I。
步骤 2：构造等式
我们构造等式$(A+3I)(A-4I)+11I=0$。这个等式可以通过展开和简化得到。首先，我们展开左边的乘积：
$(A+3I)(A-4I) = A^2 - 4A + 3A - 12I = A^2 - A - 12I$。
根据已知条件${A}^{2}-A-I=0$，我们可以将$A^2 - A$替换为$I$，得到：
$A^2 - A - 12I = I - 12I = -11I$。
因此，我们有$(A+3I)(A-4I) = -11I$，即$(A+3I)(A-4I)+11I=0$。
步骤 3：求逆矩阵
从$(A+3I)(A-4I)+11I=0$，我们可以得到$(A+3I)(A-4I)=-11I$。两边同时乘以$-\dfrac{1}{11}$，得到$(A+3I)(-\dfrac{1}{11}A+\dfrac{4}{11}I)=I$。这表明$A+3I$的逆矩阵为$-\dfrac{1}{11}A+\dfrac{4}{11}I$。