题目

9.lim_(xtoinfty)x^(8)/(5)(sqrt[5](x^2+2)-sqrt[5](x^2+1))=

9.$\lim_{x\to\infty}x^{\frac{8}{5}}(\sqrt[5]{x^{2}+2}-\sqrt[5]{x^{2}+1})$=

题目解答

答案

令 $ t = \frac{1}{x} $，则当 $ x \to \infty $ 时，$ t \to 0^+ $。原式变为
$\lim_{t \to 0^+} \frac{(1 + 2t^2)^{1/5} - (1 + t^2)^{1/5}}{t^2}$
使用泰勒展开，得
$(1 + 2t^2)^{1/5} \approx 1 + \frac{2}{5}t^2, \quad (1 + t^2)^{1/5} \approx 1 + \frac{1}{5}t^2$
代入得
$\lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{5}t^2}{t^2} = \frac{1}{5}$
或使用恒等式 $ a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + \cdots + b^4) $，其中 $ a = \sqrt[5]{x^2 + 2} $，$ b = \sqrt[5]{x^2 + 1} $，得
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{8/5}}{5x^{8/5}} = \frac{1}{5}$
答案： $\boxed{\frac{1}{5}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理∞×0型不定式的技巧，涉及变量替换、泰勒展开或恒等变形的应用。

解题核心思路：
当$x \to \infty$时，$\sqrt[5]{x^2+2}$与$\sqrt[5]{x^2+1}$的差趋于0，但乘以$x^{\frac{8}{5}}$后可能趋于有限值。关键在于将变量替换为$t = \frac{1}{x}$，将极限转化为$t \to 0^+$的形式，再通过泰勒展开或恒等变形展开表达式，消去高阶无穷小，最终求得极限。

破题关键点：

  1. 变量替换简化表达式；
  2. 泰勒展开或恒等变形处理根式差；
  3. 约去低阶项，保留主导项。

方法一：变量替换 + 泰勒展开

  1. 变量替换
    令$t = \frac{1}{x}$，则当$x \to \infty$时，$t \to 0^+$。原式变为：
    $\lim_{t \to 0^+} \frac{(1 + 2t^2)^{1/5} - (1 + t^2)^{1/5}}{t^2}$

  2. 泰勒展开
    对$(1 + at^2)^{1/5}$展开至二阶项：
    $(1 + 2t^2)^{1/5} \approx 1 + \frac{2}{5}t^2, \quad (1 + t^2)^{1/5} \approx 1 + \frac{1}{5}t^2$

  3. 代入并化简
    差值为$\frac{1}{5}t^2$，代入后得：
    $\lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{5}t^2}{t^2} = \frac{1}{5}$

方法二：恒等变形

  1. 构造$a^5 - b^5$
    设$a = \sqrt[5]{x^2 + 2}$，$b = \sqrt[5]{x^2 + 1}$，则$a^5 - b^5 = 1$。利用恒等式：
    $a - b = \frac{a^5 - b^5}{a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4}$

  2. 代入原式
    原式变为：
    $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{8}{5}} \cdot \frac{1}{a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4}$

  3. 近似分母
    当$x \to \infty$时，$a \approx b \approx x^{\frac{2}{5}}$，分母近似为$5x^{\frac{8}{5}}$，故：
    $\lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{8}{5}}}{5x^{\frac{8}{5}}} = \frac{1}{5}$