24.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min计)服从指数分布,其概率密度为-|||-_(x)(x)= {e)^-x/5,xgt 0 0,

考查要点：本题主要考查指数分布的应用和二项分布的建立，同时涉及概率计算。

解题核心思路：

1. 确定单次事件概率：顾客等待超过10分钟离开的概率，即指数分布的生存函数值。
2. 建立二项分布模型：Y表示5次独立尝试中离开的次数，符合二项分布的条件。
3. 计算特定概率：根据二项分布的性质，计算至少有一次离开的概率。

破题关键点：

• 指数分布的生存函数：$P(X > t) = e^{-\lambda t}$，其中$\lambda = \dfrac{1}{5}$。
• 二项分布的参数：成功概率$p = e^{-2}$，试验次数$n = 5$。
• 至少一次成功概率：利用补集思想简化计算。

1. 确定单次离开概率

顾客等待时间$X$服从参数$\lambda = \dfrac{1}{5}$的指数分布，离开的概率为：
$p = P(X > 10) = e^{-\lambda \cdot 10} = e^{-2}.$

2. 建立Y的分布律

Y表示5次中离开的次数，符合二项分布：
$P\{Y = k\} = \dbinom{5}{k} \left(e^{-2}\right)^k \left(1 - e^{-2}\right)^{5 - k}, \quad k = 0, 1, \dots, 5.$

3. 计算$P\{Y \geq 1\}$

利用补集公式：
$P\{Y \geq 1\} = 1 - P\{Y = 0\} = 1 - \left(1 - e^{-2}\right)^5.$
代入数值计算：
$1 - e^{-2} \approx 0.8647, \quad \left(0.8647\right)^5 \approx 0.4833, \quad 1 - 0.4833 \approx 0.5167.$