2、计算下列定积分。（3）(int )_(0)^1xln (1+(x)^2)dx.

考查要点：本题主要考查定积分的计算方法，特别是分部积分法和换元法的综合应用。关键在于选择合适的变量替换或分部策略，将复杂积分转化为简单形式。

解题核心思路：
观察被积函数$x \ln(1+x^2)$，发现$x$与$\ln(1+x^2)$的乘积结构适合分部积分。但更直接的方法是换元法：令$u = 1+x^2$，则$x \, dx$可转化为$du$的一部分，简化积分形式。

破题关键点：

1. 换元选择：令$u = 1+x^2$，将原积分转化为关于$u$的简单积分。
2. 分部积分应用：在换元后的积分$\int \ln u \, du$中，进一步使用分部积分法求解。

步骤1：换元法简化积分

令$u = 1+x^2$，则$du = 2x \, dx$，即$x \, dx = \dfrac{1}{2} du$。
积分上下限对应变换：

• 当$x=0$时，$u=1$；
• 当$x=1$时，$u=2$。

原积分变为：
$\int_{0}^{1} x \ln(1+x^2) \, dx = \dfrac{1}{2} \int_{1}^{2} \ln u \, du.$

步骤2：分部积分法计算$\int \ln u \, du$

设$v = \ln u$，$dw = du$，则$dv = \dfrac{1}{u} du$，$w = u$。
根据分部积分公式$\int v \, dw = vw - \int w \, dv$：
$\int \ln u \, du = u \ln u - \int u \cdot \dfrac{1}{u} \, du = u \ln u - u + C.$

步骤3：代入上下限并计算

将结果代入定积分：
$\dfrac{1}{2} \left[ u \ln u - u \right]_{1}^{2} = \dfrac{1}{2} \left[ (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) \right].$
由于$\ln 1 = 0$，化简得：
$\dfrac{1}{2} \left( 2 \ln 2 - 2 + 1 \right) = \dfrac{1}{2} (2 \ln 2 - 1) = \ln 2 - \dfrac{1}{2}.$