设 A 是 m times n 矩阵，A^T 是 A 的转置，若齐次线性方程组 A^T x = 0 有 t 个自由未知数，则秩 R(A)= ( )A. tB. n - tC. m - tD. n - m

本题考查齐次线性方程组的的自由未知数个数与系数矩阵秩的关系以及矩阵转置的性质。解题思路是先根据齐次线性方程组 $A^T x = 0$ 的自由未知数个数求出矩阵 $A^T$ 的秩，再利用矩阵转置的性质得到矩阵 $A$ 的秩。

步骤一：明确齐次线性方程组自由未知数个数与系数矩阵秩的关系

对于齐次线性方程组 $Bx = 0$，设系数矩阵 $B$ 是 $s\times p$ 矩阵，未知数的个数为 $p$，自由未知数的个数为 $k$，系数矩阵的秩为 $R(B)$，则有公式 $R(B)+k = p$。

步骤二：分析齐次线性方程组 $A^T x = 0$

已知 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $A^T$ 是 $n\times m$ 矩阵，那么齐次线性方程组 $A^T x = 0$ 中，未知数的个数为 $m$，自由未知数的个数为 $t$。
根据上述公式可得 $R(A^T)+t = m$，移项可得 $R(A^T)=m - t$。

步骤三：利用矩阵转置的性质求 $R(A)$

根据矩阵转置的性质：矩阵 $A$ 与其转置矩阵 $A^T$ 的秩相等，即 $R(A)=R(A^T)$ )。
因为 $R(A^T)=m - t$，所以 $R(A)=m - t$。