高阶微分方程可化为与之等价的一阶微分方程组。A. 对B. 错

本题考查高阶微分方程与一阶微分方程组的关系。解题思路是通过具体的方法说明高阶微分方程可以转化为与之等价的一阶微分方程组。

对于一个$n$阶微分方程$y^{(n)} = f(x,y,y',\cdots,y^{(n - 1)})$，我们可以引入新的变量。
设$y_1=y$，$y_2 = y'$，$\cdots$，$y_n=y^{(n - 1)}$。
对这些新变量求导：

• $y_1'=y' = y_2$；
• $y_2'=y'' = y_3$；
• $\cdots$
• $y_{n - 1}'=y^{(n - 1)} = y_n$；
• $y_n'=y^{(n)}=f(x,y_1,y_2,\cdots,y_n)$。

这样就得到了一个包含$n$个一阶微分方程的方程组$\begin{cases}y_1' = y_2\\y_2' = y_3\\\cdots\\y_{n - 1}' = y_n\\y_n'=f(x,y_1,y_2,\cdots,y_n)\end{cases}$，并且这个一阶微分方程组与原高阶微分方程是等价的，即它们具有相同的解。所以高阶微分方程可化为与之等价的一阶微分方程组，该说法是正确的。