题目
设sim N(0,1)，则随机变量sim N(0,1)的概率密度函数为()。sim N(0,1) 0. 0, & t_(m)0. & " data-width="268" data-height="71" data-size="4643" data-format="png" style="">
设
，则随机变量
的概率密度函数为()。
题目解答
答案
由定义有当
时：
利用正态分布的对称性，可得：
所以
求导得
求得
因此，
的概率密度函数为：
综上所述，本题的答案是选项 A。
解析
步骤 1：定义随机变量$|X|=I$的概率密度函数
随机变量$|X|=I$的概率密度函数是$|X|$的累积分布函数的导数。由于$X\sim N(0,1)$，我们首先需要找到$|X|$的累积分布函数。
步骤 2：计算累积分布函数
由定义有当$0\lt t$时：
$F_{T}(t)=P(|X|\leqslant t)=P(-t\leqslant X\leqslant t)$
利用正态分布的对称性，可得：
$F_{T}(t)=P(-t\leqslant x\leqslant t)=2P(0\leqslant x\leqslant t)$
所以$F_{T}(t)=2\int_{0}^{t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx$
步骤 3：求导得到概率密度函数
求导得$f_{T}(t)=\frac{d}{dt}F_{T}(t)=\frac{d}{dt}(2\int_{0}^{t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx)$
求得$f(t)=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}$ , $t\gt 0$
因此，$|X|=I$的概率密度函数为：
$f_{T}(t)=\left \{ \begin{matrix} \sqrt {\dfrac {2}{\pi }}{e}^{-\dfrac {{t}^{2}}{2}},\quad t\gt 0\\ 0,\quad t\leqslant 0\end{matrix} \right.$
随机变量$|X|=I$的概率密度函数是$|X|$的累积分布函数的导数。由于$X\sim N(0,1)$，我们首先需要找到$|X|$的累积分布函数。
步骤 2：计算累积分布函数
由定义有当$0\lt t$时：
$F_{T}(t)=P(|X|\leqslant t)=P(-t\leqslant X\leqslant t)$
利用正态分布的对称性，可得：
$F_{T}(t)=P(-t\leqslant x\leqslant t)=2P(0\leqslant x\leqslant t)$
所以$F_{T}(t)=2\int_{0}^{t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx$
步骤 3：求导得到概率密度函数
求导得$f_{T}(t)=\frac{d}{dt}F_{T}(t)=\frac{d}{dt}(2\int_{0}^{t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx)$
求得$f(t)=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}$ , $t\gt 0$
因此，$|X|=I$的概率密度函数为：
$f_{T}(t)=\left \{ \begin{matrix} \sqrt {\dfrac {2}{\pi }}{e}^{-\dfrac {{t}^{2}}{2}},\quad t\gt 0\\ 0,\quad t\leqslant 0\end{matrix} \right.$