题目

判断微分方程-sin xdx=0的阶.

判断微分方程 $xdy-\sin xdx=0$ 的阶.

题目解答

答案

由微分方程的阶数定义可知，微分方程中出现的未知函数的最高阶导数，为微分方程的阶，若以x为自变量，以y为未知函数的n阶微分方程的一般形式为 $F\left(x,y,y',\cdots,y^{\left(n\right)}\right)=0$ .将微分方程 $xdy-\sin xdx=0$ 化为 $x\frac{dy}{dx}=\sin x$ ，可知微分方程中出现的未知函数的最高阶导数为一阶，满足形式 $F\left(x,y,\frac{dy}{dx}\right)=0$ ，故该微分方程的阶为1.

解析

微分方程的阶数由方程中出现的未知函数的最高阶导数决定。本题的关键是将原方程整理为标准形式，明确未知函数的导数阶数。原方程中的微分项$dy$对应一阶导数$\dfrac{dy}{dx}$，因此只需判断方程中是否包含更高阶导数即可。

整理方程
原方程$xdy - \sin xdx = 0$可变形为：
$x \dfrac{dy}{dx} = \sin x$
此时方程仅包含未知函数$y$的一阶导数$\dfrac{dy}{dx}$。
判断阶数
根据微分方程的阶数定义，方程中最高阶导数为一阶，因此该微分方程为一阶微分方程。