3.已知 (2x)=x(e)^x, 则 (int )_(-1)^1|f(x)|dx= __

本题主要考查函数解析式的求解以及定积分的计算，涉及换元法和分部积分法。

步骤1：求函数$f(x)$的解析式

已知$f(2x)=x e^x$，通过换元法求$f(x)$：
设$t=2x$，则$x=\frac{t}{2}$，代入得：
$f(t)=\frac{t}{2} \cdot e^{\frac{t}{2}}$
故$f(x)=\frac{1}{2}x e^{\frac{x}{2}}$。

步骤2：处理绝对值$|f(x)|$

分析$f(x)=\frac{1}{2}x e^{\frac{x}{2}}$的符号：

• 当$x \geq 0$时，$x \geq 0$且$e^{\frac{x}{2}}>0$，故$f(x) \geq 0$，$|f(x)|=f(x)$；
• 当$x < 0$时，$x < 0$且$e^{\frac{x}{2}}>0$，故$f(x) < 0$，$|f(x)|=-f(x)$。

因此，积分拆分为：
$\int_{-1}^1 |f(x)|dx = \int_{-1}^0 -f(x)dx + \int_{0}^1 f(x)dx$

步骤3：用分部积分法计算积分

分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$，取$u=x$，$dv=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}dx$，则$du=dx$，$v=e^{\frac{x}{2}}$。

计算$\int_{-1}^0 -f(x)dx$

$\int_{-1}^0 -\frac{1}{2}x e^{\frac{x}{2}}dx = -\left[ x e^{\frac{x}{2}} \bigg|_{-1}^0 - \int_{-1}^0 e^{\frac{x}{2}}dx \right]$

• 代入边界：$0 \cdot e^0 - (-1)e^{-\frac{1}{2}} = e^{-\frac{1}{2}}$
• 积分$\int e^{\frac{x}{2}}dx = 2e^{\frac{x}{2}}$，故：
  $-\left[ e^{-\frac{1}{2}} - 2\left( e^0 - e^{-\frac{1}{2}} \right) \right] = -\left[ e^{-\frac{1}{2}} - 2 + 2e^{-\frac{1}{2}} \right] = 2 - 3e^{-\frac{1}{2}}$

计算$\int_{0}^1 f(x)dx$

$\int_{0}^1 \frac{1}{2}x e^{\frac{x}{2}}dx = \left[ x e^{\frac{x}{2}} \bigg|_{0}^1 - \int_{0}^1 e^{\frac{x}{2}}dx \right]$

• 代入边界：$1 \cdot e^{\frac{1}{2}} - 0 \cdot e^0 = e^{\frac{1}{2}}$
• 积分$\int e^{\frac{x}{2}}dx = 2e^{\frac{x}{2}}$，故：
  $\left[ e^{\frac{1}{2}} - 2\left( e^{\frac{1}{2}} - e^0 \right) \right] = \left[ e^{\frac{1}{2}} - 2e^{\frac{1}{2}} + 2 \right] = 2 - e^{\frac{1}{2}}$

步骤4：求和得结果

$\int_{-1}^1 |f(x)|dx = (2 - 3e^{-\frac{1}{2}}) + (2 - e^{\frac{1}{2}}) = 4 - 3e^{-\frac{1}{2}} + e^{\frac{1}{2}}$