72 中等题 设函数f(x)=}(x)/(2x-1),&x<0e^xsin x,&xgeqslant0，求f'(x).

本题考查分段函数的求导，解题思路是分别对分段函数的不同区间进行求导，对于分段点处的导数，需要使用导数的定义来判断其是否存在。

1. 当$x < 0$时：
   • 此时$f(x)=\frac{x}{2x - 1}$，根据商法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = x$，$v = 2x - 1$。
   • 先求$u^\prime$和$v^\prime$，对$u = x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$u^\prime=(x)^\prime = 1$；对$v = 2x - 1$求导，可得$v^\prime=(2x - 1)^\prime = 2$。
   • 将$u$、$v$、$u^\prime$、$v^\prime$代入商法则公式，可得：
     $f^\prime(x)=\frac{(1)(2x - 1) - (x)(2)}{(2x - 1)^2}$
     $=\frac{2x - 1 - 2x}{(2x - 1)^2}$
     $=-\frac{1}{(2x - 1)^2}$
2. 当$x > 0$时：
   • 此时$f(x)=e^x\sin x$，根据乘积法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = e^x$，$v = \sin x$。
   • 先求$u^\prime$和$v^\prime$，对$u = e^x$求导，根据求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，可得$u^\prime=(e^x)^\prime = e^x$；对$v = \sin x$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$v^\prime=(\sin x)^\prime = \cos x$。
   • 将$u$、$v$、$u^\prime$、$v^\prime$代入乘积法则公式，可得：
     $f^\prime(x)=e^x\sin x + e^x\cos x$
     $=e^x(\sin x + \cos x)$
3. 当$x = 0$时：
   • 求右导数$f^\prime(0^+)$，根据导数定义$f^\prime(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$，已知$f(0)=e^0\sin 0 = 0$，$f(0 + h)=e^h\sin h$，则：
     $f^\prime(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{e^h\sin h - 0}{h}$
     $=\lim_{h \to 0^+} \frac{e^h\sin h}{h}$
     因为$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h}=1$，$\lim_{h \to 0^+} e^h = 1$，根据极限的乘法法则$\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$，可得：
     $f^\prime(0^+) = \lim_{h \to 0^+} e^h \cdot \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h}=1\times1 = 1$
   • 求左导数$f^\prime(0^-)$，根据导数定义$f^\prime(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$，已知$f(0)=0$，$f(0 + h)=\frac{h}{2h - 1}$，则：
     $f^\prime(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{2h - 1} - 0}{h}$
     $=\lim_{h \to 0^-} \frac{h}{h(2h - 1)}$
     $=\lim_{h \to 0^-} \frac{1}{2h - 1}$
     将$h = 0$代入$\frac{1}{2h - 1}$，可得$f^\prime(0^-) = -1$。
   • 由于$f^\prime(0^+) \neq f^\prime(0^-)$，所以$f^\prime(0)$不存在。