9. (5.0分) 设长方体长为x、宽为y、高为z，求表面积为a²而体积为最大的长方体体积时，以下说法错误的是() A. 目标函数为V=xyz B. 构造的拉格朗日函数为L(x,y,z)=xyz+lambda(xy+yz+zx-(a²)/(2)) C. 当x=y=z=(sqrt(6))/(36)a时用料最省为(sqrt(6))/(1296)a³ D. 约束条件为xy+yz+zx=a²

为了确定表面积为 $a^2$ 而体积最大的长方体的体积，我们需要遵循以下步骤： 1. **确定目标函数和约束条件：** - 目标函数是长方体的体积，由 $V = xyz$ 给出。 - 约束条件是长方体的表面积，由 $2(xy + yz + zx) = a^2$ 给出。简化后，我们得到 $xy + yz + zx = \frac{a^2}{2}$。 2. **构造拉格朗日函数：** - 拉格朗日函数 $L$ 由目标函数和约束条件的乘积之和给出，即 $L(x, y, z, \lambda) = xyz + \lambda \left(xy + yz + zx - \frac{a^2}{2}\right)$。 3. **找到临界点：** - 对 $L$ 关于 $x$，$y$，$z$ 和 $\lambda$ 求偏导数，并将它们设为零。 \[ \frac{\partial L}{\partial x} = yz + \lambda(y + z) = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial y} = xz + \lambda(x + z) = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial z} = xy + \lambda(x + y) = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = xy + yz + zx - \frac{a^2}{2} = 0 \] - 从前三式中，我们可以解出 $\lambda$： \[ \lambda = -\frac{yz}{y + z} = -\frac{xz}{x + z} = -\frac{xy}{x + y} \] - 通过等式 $-\frac{yz}{y + z} = -\frac{xz}{x + z}$，我们得到： \[ yz(x + z) = xz(y + z) \implies xyz + yz^2 = xyz + xz^2 \implies y = x \] - 同样，通过等式 $-\frac{yz}{y + z} = -\frac{xy}{x + y}$，我们得到： \[ yz(x + y) = xy(y + z) \implies xyz + y^2z = xyz + xyz \implies y = z \] - 因此，我们有 $x = y = z$。将 $x = y = z$ 代入约束条件 $xy + yz + zx = \frac{a^2}{2}$，我们得到： \[ x^2 + x^2 + x^2 = \frac{a^2}{2} \implies 3x^2 = \frac{a^2}{2} \implies x^2 = \frac{a^2}{6} \implies x = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6} \] - 因此，$x = y = z = \frac{a\sqrt{6}}{6}$。 4. **计算最大体积：** - 最大体积 $V$ 为： \[ V = xyz = \left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)^3 = \frac{a^3 \cdot 6\sqrt{6}}{216} = \frac{a^3 \sqrt{6}}{36} \] 现在，让我们分析给定的选项： - **选项A：** 目标函数为 $V = xyz$。这是正确的。 - **选项B：** 构造的拉格朗日函数为 $L(x, y, z) = xyz + \lambda \left(xy + yz + zx - \frac{a^2}{2}\right)$。这是正确的。 - **选项C：** 当 $x = y = z = \frac{\sqrt{6}}{36}a$ 时，体积为 $\frac{\sqrt{6}}{1296}a^3$。这是不正确的，因为正确的值是 $x = y = z = \frac{a\sqrt{6}}{6}$ 和体积为 $\frac{a^3 \sqrt{6}}{36}$。 - **选项D：** 约束条件为 $xy + yz + zx = a^2$。这是不正确的，因为正确的约束条件是 $xy + yz + zx = \frac{a^2}{2}$。 因此，错误的选项是 $\boxed{C}$ 和 $\boxed{D}$。