题目
设向量组(alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3) 线性无关， (alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3) 证明：向量组 (alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3) 线性无关
设向量组
线性无关， 
证明：向量组 
线性无关
题目解答
答案
本题运用反证法，即假设向量组 线性相关，则根据线性相关的性质可得：存在
使得
题目已知：
则可得
由于向量组 线性无关，故可得：
，解得
，故不存在使得
故本题假设不成立，即向量组 线性无关
解析
步骤 1：假设向量组 β1, β2, β3 线性相关
假设向量组 β1, β2, β3 线性相关，根据线性相关的定义，存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得
\[ k_1\overrightarrow{\beta_1} + k_2\overrightarrow{\beta_2} + k_3\overrightarrow{\beta_3} = \overrightarrow{0} \]
步骤 2：代入 β1, β2, β3 的表达式
根据题目条件，代入 β1, β2, β3 的表达式，得到
\[ k_1\overrightarrow{\alpha_1} + k_2(\overrightarrow{\alpha_1} + \overrightarrow{\alpha_2}) + k_3(\overrightarrow{\alpha_1} + \overrightarrow{\alpha_2} + \overrightarrow{\alpha_3}) = \overrightarrow{0} \]
整理得
\[ (k_1 + k_2 + k_3)\overrightarrow{\alpha_1} + (k_2 + k_3)\overrightarrow{\alpha_2} + k_3\overrightarrow{\alpha_3} = \overrightarrow{0} \]
步骤 3：利用向量组 α1, α2, α3 线性无关
由于向量组 α1, α2, α3 线性无关，根据线性无关的定义，上述等式成立的充要条件是
\[ \left\{ \begin{array}{l} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \\ k_3 = 0 \end{array} \right. \]
解得 k1 = k2 = k3 = 0，这与假设矛盾，因此向量组 β1, β2, β3 线性无关。
假设向量组 β1, β2, β3 线性相关，根据线性相关的定义，存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得
\[ k_1\overrightarrow{\beta_1} + k_2\overrightarrow{\beta_2} + k_3\overrightarrow{\beta_3} = \overrightarrow{0} \]
步骤 2：代入 β1, β2, β3 的表达式
根据题目条件，代入 β1, β2, β3 的表达式，得到
\[ k_1\overrightarrow{\alpha_1} + k_2(\overrightarrow{\alpha_1} + \overrightarrow{\alpha_2}) + k_3(\overrightarrow{\alpha_1} + \overrightarrow{\alpha_2} + \overrightarrow{\alpha_3}) = \overrightarrow{0} \]
整理得
\[ (k_1 + k_2 + k_3)\overrightarrow{\alpha_1} + (k_2 + k_3)\overrightarrow{\alpha_2} + k_3\overrightarrow{\alpha_3} = \overrightarrow{0} \]
步骤 3：利用向量组 α1, α2, α3 线性无关
由于向量组 α1, α2, α3 线性无关，根据线性无关的定义，上述等式成立的充要条件是
\[ \left\{ \begin{array}{l} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \\ k_3 = 0 \end{array} \right. \]
解得 k1 = k2 = k3 = 0，这与假设矛盾，因此向量组 β1, β2, β3 线性无关。