例33 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且-|||-(0)=0, (1)=dfrac (1)(2) 求证:存在ξ, in (0,1), 使得-|||-'(xi )+f'(n)=xi +n.

步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^2$，该函数在[0,1]上连续，在(0,1)内可导。

步骤 2：应用拉格朗日中值定理
分别在 $[0, \frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上应用拉格朗日中值定理，得到：
- 在 $[0, \frac{1}{2}]$ 上，存在 $\xi \in (0, \frac{1}{2})$ 使得 $F'(\xi) = \frac{F(\frac{1}{2}) - F(0)}{\frac{1}{2} - 0}$
- 在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上，存在 $\eta \in (\frac{1}{2}, 1)$ 使得 $F'(\eta) = \frac{F(1) - F(\frac{1}{2})}{1 - \frac{1}{2}}$

步骤 3：计算辅助函数的导数
计算 $F(x)$ 的导数 $F'(x) = f'(x) - x$，代入步骤2中的拉格朗日中值定理结果，得到：
- $F'(\xi) = f'(\xi) - \xi = \frac{F(\frac{1}{2}) - F(0)}{\frac{1}{2}}$
- $F'(\eta) = f'(\eta) - \eta = \frac{F(1) - F(\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}$

步骤 4：利用已知条件
利用已知条件 $f(0) = 0$ 和 $f(1) = \frac{1}{2}$，计算 $F(0)$ 和 $F(1)$：
- $F(0) = f(0) - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$
- $F(1) = f(1) - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

步骤 5：代入计算
代入步骤4中的结果，得到：
- $f'(\xi) - \xi = \frac{F(\frac{1}{2}) - 0}{\frac{1}{2}} = 2F(\frac{1}{2})$
- $f'(\eta) - \eta = \frac{0 - F(\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}} = -2F(\frac{1}{2})$

步骤 6：求和
将步骤5中的两个等式相加，得到：
- $f'(\xi) - \xi + f'(\eta) - \eta = 2F(\frac{1}{2}) - 2F(\frac{1}{2}) = 0$
- $f'(\xi) + f'(\eta) = \xi + \eta$