计算int dfrac (arctan sqrt {x)}(sqrt {x)(1+x)}dx

考查要点：本题主要考查换元积分法的应用，特别是对复合函数积分的处理能力。关键在于识别被积函数中的链式结构，通过合理选择中间变量简化积分过程。

解题核心思路：
观察到被积函数中存在$\arctan \sqrt{x}$及其导数的结构，选择$u = \arctan \sqrt{x}$作为换元变量。此时，$\mathrm{d}u$的表达式能与分母中的$\sqrt{x}(1+x)$形成约简，将原积分转化为关于$u$的简单积分。

破题关键点：

1. 识别导数形式：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arctan \sqrt{x} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$，与分母结构匹配。
2. 换元简化积分：通过变量替换，将原积分转化为$\int 2u \, \mathrm{d}u$的形式，直接积分即可。

步骤1：变量替换
设$u = \arctan \sqrt{x}$，则$\mathrm{d}u = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \mathrm{d}x$，即：
$\mathrm{d}x = 2\sqrt{x}(1+x) \mathrm{d}u$

步骤2：改写积分表达式
将原积分中的$\mathrm{d}x$替换为$2\sqrt{x}(1+x) \mathrm{d}u$，并代入$u = \arctan \sqrt{x}$：
$\begin{aligned}\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d}x &= \int \frac{u}{\sqrt{x}(1+x)} \cdot 2\sqrt{x}(1+x) \mathrm{d}u \\&= \int 2u \, \mathrm{d}u\end{aligned}$

步骤3：积分并回代变量
对$2u$积分得：
$\int 2u \, \mathrm{d}u = u^2 + C = (\arctan \sqrt{x})^2 + C$