题目
(2)已知齐次线性方程组 ) 3x+ky-z=0 4y+z=0 kx-5y-z=0 . 有非零解,则 ()-|||-A. k=0 B. k=1-|||-C. k=-1 或 k=-3 D. k=3
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出系数矩阵
首先，将方程组写成矩阵形式，得到系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
3 & k & -1 \\
0 & 4 & 1 \\
k & -5 & -1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
齐次线性方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式为0，即：
$$
\det(A) = 0
$$
计算行列式：
$$
\det(A) = 3 \cdot (4 \cdot (-1) - 1 \cdot (-5)) - k \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot k) - 1 \cdot (0 \cdot (-5) - 4 \cdot k)
$$
$$
= 3 \cdot (-4 + 5) - k \cdot (-k) - 1 \cdot (-4k)
$$
$$
= 3 \cdot 1 + k^2 + 4k
$$
$$
= k^2 + 4k + 3
$$
步骤 3：求解方程
令行列式等于0，得到方程：
$$
k^2 + 4k + 3 = 0
$$
解这个方程，得到：
$$
(k + 1)(k + 3) = 0
$$
$$
k = -1 \text{ 或 } k = -3
$$
首先，将方程组写成矩阵形式，得到系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
3 & k & -1 \\
0 & 4 & 1 \\
k & -5 & -1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
齐次线性方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式为0，即：
$$
\det(A) = 0
$$
计算行列式：
$$
\det(A) = 3 \cdot (4 \cdot (-1) - 1 \cdot (-5)) - k \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot k) - 1 \cdot (0 \cdot (-5) - 4 \cdot k)
$$
$$
= 3 \cdot (-4 + 5) - k \cdot (-k) - 1 \cdot (-4k)
$$
$$
= 3 \cdot 1 + k^2 + 4k
$$
$$
= k^2 + 4k + 3
$$
步骤 3：求解方程
令行列式等于0，得到方程：
$$
k^2 + 4k + 3 = 0
$$
解这个方程，得到：
$$
(k + 1)(k + 3) = 0
$$
$$
k = -1 \text{ 或 } k = -3
$$