题目
23.（5.0分）【多选题】设曲线L，f(x,y)-1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分大于0的是（）.A. int_(L)f(x,y)dx;B. int_(L)f(x,y)dy;C. int_(L)f(x,y)ds;D. int_(L)f_(x)^prime(x,y)dx+f_(y)^prime(x,y)dy.
23.（5.0分）【多选题】设曲线L，f(x,y)-1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分大于0的是（）.
A. $\int_{L}f(x,y)dx$;
B. $\int_{L}f(x,y)dy$;
C. $\int_{L}f(x,y)ds$;
D. $\int_{L}f_{x}^{\prime}(x,y)dx+f_{y}^{\prime}(x,y)dy$.
题目解答
答案
AC
A. $\int_{L}f(x,y)dx$;
C. $\int_{L}f(x,y)ds$;
A. $\int_{L}f(x,y)dx$;
C. $\int_{L}f(x,y)ds$;
解析
步骤 1：分析选项A
$\int_{\Gamma} f(x, y) \, dx = \int_{\Gamma} 1 \, dx$。由于曲线 $\Gamma$ 从第Ⅱ象限的点 $M$ 到第Ⅳ象限的点 $N$，$x$ 坐标从负到正，因此积分大于0。
步骤 2：分析选项B
$\int_{\Gamma} f(x, y) \, dy = \int_{\Gamma} 1 \, dy$。由于曲线 $\Gamma$ 从第Ⅱ象限的点 $M$ 到第Ⅳ象限的点 $N$，$y$ 坐标从正到负，因此积分小于0。
步骤 3：分析选项C
$\int_{\Gamma} f(x, y) \, ds = \int_{\Gamma} 1 \, ds$。由于弧长 $ds$ 恒正，因此积分大于0。
步骤 4：分析选项D
$\int_{\Gamma} f_x' \, dx + f_y' \, dy = \int_{\Gamma} df = 0$。由于 $f(x, y)$ 是常数，微分和为0。
$\int_{\Gamma} f(x, y) \, dx = \int_{\Gamma} 1 \, dx$。由于曲线 $\Gamma$ 从第Ⅱ象限的点 $M$ 到第Ⅳ象限的点 $N$，$x$ 坐标从负到正，因此积分大于0。
步骤 2：分析选项B
$\int_{\Gamma} f(x, y) \, dy = \int_{\Gamma} 1 \, dy$。由于曲线 $\Gamma$ 从第Ⅱ象限的点 $M$ 到第Ⅳ象限的点 $N$，$y$ 坐标从正到负，因此积分小于0。
步骤 3：分析选项C
$\int_{\Gamma} f(x, y) \, ds = \int_{\Gamma} 1 \, ds$。由于弧长 $ds$ 恒正，因此积分大于0。
步骤 4：分析选项D
$\int_{\Gamma} f_x' \, dx + f_y' \, dy = \int_{\Gamma} df = 0$。由于 $f(x, y)$ 是常数，微分和为0。