设 x_0 > 0, x_(n+1) = (1)/(2)(x_n + (a)/(x_n)) (n = 0, 1, 2, ldots)，且 a > 0，证明 lim_(n to infty) x_n 存在，并求此极限。

我们来逐步分析并解决这个题目。

题目：

设 $ x_0 > 0 $，递推关系为：
$x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots$
其中 $ a > 0 $。
要求：证明极限 $ \lim_{n \to \infty} x_n $ 存在，并求出该极限。

第一步：理解递推公式的背景

这个递推公式是著名的牛顿迭代法用于求平方根 $ \sqrt{a} $ 的形式。
我们期望这个数列收敛到 $ \sqrt{a} $。

第二步：假设极限存在，求可能的极限值

假设极限存在，记为：
$\lim_{n \to \infty} x_n = L$
由于 $ x_0 > 0 $，且递推中涉及 $ x_n $ 和 $ \frac{a}{x_n} $，我们稍后会证明所有 $ x_n > 0 $，所以 $ L \geq 0 $。

对递推式两边取极限：
$L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{a}{L} \right)$
（注意：这里要求 $ L \neq 0 $，否则 $ \frac{a}{L} $ 无定义。我们后面会证明 $ x_n $ 始终大于 0 且远离 0，所以 $ L > 0 $）

两边同乘以 $ 2L $：
$2L^2 = L^2 + a \Rightarrow L^2 = a \Rightarrow L = \sqrt{a}$
（因为 $ L > 0 $，所以舍去负根）

所以，如果极限存在，必为 $ \sqrt{a} $。

第三步：证明极限存在

我们要证明数列 $ \{x_n\} $ 收敛。为此，我们分两步：

1. 证明从某一项开始，数列是有下界的；
2. 证明从某一项开始，数列是单调递减的；
3. 利用单调有界定理，得出极限存在。

1. 证明 $ x_n \geq \sqrt{a} $ 对所有 $ n \geq 1 $ 成立

我们使用不等式工具：均值-几何平均不等式（AM ≥ GM）

对任意 $ x_n > 0 $，有：
$x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right) \geq \sqrt{ x_n \cdot \frac{a}{x_n} } = \sqrt{a}$
（等号成立当且仅当 $ x_n = \frac{a}{x_n} \Rightarrow x_n = \sqrt{a} $）

所以：
$x_{n+1} \geq \sqrt{a}, \quad \text{对所有 } n \geq 0$
即：从 $ x_1 $ 开始，所有项都满足 $ x_n \geq \sqrt{a} $。

注意：$ x_0 > 0 $ 是任意正数，可能小于 $ \sqrt{a} $，但 $ x_1 \geq \sqrt{a} $。

所以，当 $ n \geq 1 $ 时，$ x_n \geq \sqrt{a} $，即数列从第1项起有下界 $ \sqrt{a} $。

2. 证明数列 $ \{x_n\} $ 从 $ n \geq 1 $ 起单调递减

我们考察 $ x_{n+1} - x_n $，但更有效的是比较 $ x_{n+1} $ 与 $ x_n $ 的大小。

考虑：
$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right) - x_n = \frac{1}{2} \left( \frac{a}{x_n} - x_n \right)$

当 $ x_n \geq \sqrt{a} $ 时，有 $ \frac{a}{x_n} \leq \sqrt{a} \leq x_n $，所以：
$\frac{a}{x_n} - x_n \leq 0 \Rightarrow x_{n+1} - x_n \leq 0 \Rightarrow x_{n+1} \leq x_n$

因此，当 $ n \geq 1 $ 时，$ x_n \geq \sqrt{a} $，所以 $ \{x_n\} $ 从 $ n = 1 $ 开始单调递减。

3. 单调有界定理

我们已经证明：

• 数列 $ \{x_n\}_{n \geq 1} $ 单调递减；
• 且有下界 $ \sqrt{a} $；

因此，根据单调有界定理，该数列收敛，即：
$\lim_{n \to \infty} x_n \text{ 存在}$

第四步：结合前面结果，得出极限值

前面我们已分析，若极限存在，则必为 $ \sqrt{a} $。

现在我们证明了极限存在，因此：
$\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{a}$

最后：补充说明 $ x_n > 0 $ 始终成立

由于 $ x_0 > 0 $，且递推式中 $ x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n}) $，只要 $ x_n > 0 $，则 $ \frac{a}{x_n} > 0 $，所以 $ x_{n+1} > 0 $。

由数学归纳法，所有 $ x_n > 0 $，故递推始终有效。

结论：

$\boxed{\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{a}}$

并且该极限存在。