题目
[题目]-|||-两个同心球面的半径分别为R1和R 2,各自带有-|||-电荷Q1和Q2.求:(1)各区域电势分布,并画出-|||-分布曲线;(2)两球面间的电势差为多少?-|||-B ------_-|||-1
题目解答
答案
解析
本题考查带电球面的电势分布及电势差计算，核心思路如下：
- 球对称性：利用高斯定理求电场强度，再通过电势叠加原理计算电势。
- 分区域讨论：将空间划分为三个区域（$r < R_1$，$R_1 \leq r \leq R_2$，$r \geq R_2$），分别分析电场和电势。
- 电势叠加：每个区域的电势是内外球面电荷共同作用的结果，注意球面内部电场为零但电势不为零。
第（1）题：各区域电势分布
区域1：$r < R_1$（内球面内部）
- 电场：高斯面内无电荷，$E_1 = 0$。
- 电势：由内外球面电势叠加，$V_1 = \dfrac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 R_1} + \dfrac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 R_2}$。
区域2：$R_1 \leq r \leq R_2$（两球面之间）
- 电场：由内球面电荷$Q_1$产生，$E_2 = \dfrac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$。
- 电势：从$r$到无穷远积分电场，叠加外球面电势：
$V_2 = \dfrac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 r} + \dfrac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 R_2}.$
区域3：$r \geq R_2$（外球面外部）
- 电场：由两球面总电荷$Q_1 + Q_2$产生，$E_3 = \dfrac{Q_1 + Q_2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$。
- 电势：直接应用点电荷电势公式：
$V_3 = \dfrac{Q_1 + Q_2}{4\pi \varepsilon_0 r}.$
第（2）题：两球面间的电势差
- 定义：电势差$U_{12} = V_{\text{外球面}} - V_{\text{内球面}}$。
- 计算：将$r = R_1$代入$V_1$，$r = R_2$代入$V_2$，得：
$U_{12} = \dfrac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 R_1} + \dfrac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 R_2} - \dfrac{Q_1 + Q_2}{4\pi \varepsilon_0 R_2} = \dfrac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 R_1} - \dfrac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 R_2}.$